Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths Chapter 11 रचनाएँ Additional Questions

Chapter 11 रचनाएँ Additional Questions में अनुपात में रेखाखण्ड विभाजन, समरूप त्रिभुज, वृत्त की स्पर्श रेखा, tangent construction और दो वृत्तों की common tangent से जुड़े महत्वपूर्ण प्रश्न दिए गए हैं।

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1. p : q में रेखाखण्ड विभाजन

रेखाखण्ड AB को p : q में विभाजित करने के लिए auxiliary ray पर न्यूनतम:

p + q

समान भाग लिए जाते हैं।

उत्तर: p + q

प्रश्न 2. दो tangents के बीच 35° कोण

दो tangents के बीच कोण + corresponding central angle = 180°.

अतः central angle:

180° − 35° = 145°.

प्रश्न 3. 5 : 7 अनुपात

कुल समान भाग:

5 + 7 = 12.

प्रश्न 4. 4 : 7 अनुपात

किरण पर कुल 11 समान भाग लेने होंगे।

उत्तर: A₁₁

प्रश्न 5. 5 : 6 अनुपात

दो विपरीत किरणों पर 5 और 6 समान भाग लेकर संबंधित बिन्दुओं को मिलाया जाता है।

उत्तर: A₅ और B₆

प्रश्न 6. 3/7 के समरूप त्रिभुज की रचना

Auxiliary ray पर कुल 7 समान भाग लेकर तीसरे बिन्दु से संबंधित parallel line खींची जाती है।

प्रश्न 7. 60° के tangent pair

Corresponding central angle:

180° − 60° = 120°.

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. 3 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर tangent

केन्द्र O और वृत्त पर P बिन्दु लें। OP मिलाएँ और P पर OP के perpendicular रेखा खींचें। यही P पर अभीष्ट tangent है।

प्रश्न 2. 3.5 cm त्रिज्या वाले वृत्त की रचना

5 cm दूर A और B दिए हैं। AB का perpendicular bisector खींचकर ऐसा केन्द्र O प्राप्त करें जिसकी A और B से दूरी 3.5 cm हो। O को केन्द्र मानकर 3.5 cm radius का वृत्त बनाइए।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. ∆APQ का परिमाप

यदि AB = 5 cm और AB, AC तथा PQ tangents हैं, तो समान tangent theorem से:

AB = AC = 5 cm.

अतः:

∆APQ का परिमाप = 10 cm.

प्रश्न 2. ∆ABC का परिमाप

यदि AR = 8 cm है, तो बाह्य बिन्दु A से खींची गई tangents के कारण:

AQ = AR = 8 cm.

इसी प्रकार अन्य tangent segments बराबर होंगे।

अतः:

∆ABC का परिमाप = 16 cm.

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. 3 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर 5 cm दूर बिन्दु से tangents

OP = 5 cm और वृत्त की radius = 3 cm लें। OP को व्यास मानकर auxiliary circle बनाइए। उसके intersection points A और B को P से मिलाइए।

प्राप्त दोनों tangents की लंबाई:

PT² = OP² − OT²

= 25 − 9 = 16.

PT = 4 cm.

प्रश्न 2. 3/4 scale का समरूप त्रिभुज

दिए गए त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की 3/4 लंबाई वाला नया त्रिभुज बनाने के लिए B से auxiliary ray खींचें। उस पर 4 समान भाग अंकित करें। तीसरे बिन्दु से उचित parallel construction करके नया त्रिभुज प्राप्त करें।

समरूपता के कारण:

A’B/AB = A’C’/AC = BC’/BC = 3/4.

प्रश्न 3. समबाहु त्रिभुज की 6/7 scale construction

पहले 5 cm भुजा का समबाहु त्रिभुज बनाइए। Auxiliary ray पर 7 समान भाग लें और छठे भाग के अनुरूप parallel construction करें।

अतः:

नई प्रत्येक संगत भुजा = 6/7 × मूल भुजा.

प्रश्न 4. 3/2 scale वाला समद्विबाहु त्रिभुज

दिए गए समद्विबाहु त्रिभुज की ऊँचाई और दोनों समान भुजाओं के आधार पर construction करें। Auxiliary ray पर 3 समान भाग लेकर 2 भाग के अनुरूप parallel lines खींचें।

अतः:

नई प्रत्येक संगत भुजा = 3/2 × मूल भुजा.

प्रश्न 5. दो वृत्तों की common tangent

दो वृत्तों के केन्द्रों O और E को मिलाकर OE = 6.2 cm लें। दिए गए radii के अनुसार दोनों वृत्त बनाइए। Auxiliary circle तथा parallel construction की सहायता से common tangent प्राप्त की जाती है।

Construction के बाद tangent की लंबाई को measurement तथा calculation दोनों से verify किया जाता है।

प्रश्न 6. Transverse common tangent

OE = 10 cm लेकर दोनों दिए गए radii के वृत्त बनाइए। OE को व्यास मानकर auxiliary circle और संबंधित auxiliary construction की सहायता से transverse common tangents प्राप्त करें।

अंत में tangent की लंबाई को गणना से verify करें।

Chapter 11 के सबसे महत्वपूर्ण Construction Topics

• रेखाखण्ड को दिए गए अनुपात में विभाजित करना
• दिए गए त्रिभुज का समरूप त्रिभुज बनाना
• Scale factor 2/3, 3/4, 4/3, 5/3 आदि
• वृत्त पर tangent बनाना
• बाह्य बिन्दु से tangent pair
• 60° और अन्य कोणों वाली tangents
• संकेन्द्रीय वृत्त पर tangent
• दो वृत्तों की common tangent

Construction Questions हल करने की सही विधि

1. दिया है लिखें।
2. रचना करनी है लिखें।
3. Construction steps क्रमांक के साथ लिखें।
4. अंत में औचित्य/उपपत्ति लिखें।
5. जहाँ पूछा गया हो वहाँ measurement और calculation से verification करें।

FAQs

Chapter 11 में construction क्यों महत्वपूर्ण है?

इस chapter में प्रश्नों के साथ रचना-विधि और उसका औचित्य दोनों पूछे जाते हैं, इसलिए केवल final figure याद करना पर्याप्त नहीं है।

समरूप त्रिभुज में scale factor क्या होता है?

नए त्रिभुज की किसी संगत भुजा और मूल त्रिभुज की संगत भुजा का अनुपात scale factor कहलाता है।

Tangent construction का सबसे महत्वपूर्ण theorem कौन-सा है?

स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है। इसी तथ्य का प्रयोग करके tangent construction किया जाता है।