Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 1 Ex 1.3

वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3 में मुख्य रूप से यह सिद्ध करना है कि दी गई संख्याएँ अपरिमेय हैं।

प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है

मान लेते हैं कि √5 एक परिमेय संख्या है।

तब:

√5 = p/q

जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0.

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

5 = p²/q²

अतः:

p² = 5q²

इससे p², 5 से विभाज्य है। अतः p भी 5 से विभाज्य होगा।

मान लेते हैं:

p = 5k

तब:

p² = 25k²

अतः:

25k² = 5q²

q² = 5k²

अतः q भी 5 से विभाज्य है।

इसका अर्थ है कि p और q दोनों 5 से विभाज्य हैं, जो इस तथ्य के विरुद्ध है कि p और q सह-अभाज्य हैं।

अतः हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है।

अतः √5 एक अपरिमेय संख्या है।

अपरिमेय संख्या सिद्ध करने की विधि

1. मान लें कि दी गई संख्या परिमेय है।
2. उसे p/q के रूप में लिखें।
3. p और q को सह-अभाज्य मानें।
4. समीकरण को simplify करें।
5. दिखाएँ कि p और q दोनों किसी common factor से विभाज्य हैं।
6. यह contradiction प्राप्त करता है।
7. अतः संख्या अपरिमेय सिद्ध होती है।

Important Concept

किसी संख्या को p/q के रूप में लिखने के लिए p और q पूर्णांक होने चाहिए तथा q ≠ 0 होना चाहिए। यदि ऐसी representation संभव नहीं है, तो संख्या irrational हो सकती है।

Exam Tip

अपरिमेयता सिद्ध करने वाले प्रश्नों में contradiction method के प्रत्येक step को स्पष्ट रूप से लिखें। केवल final answer लिखने से पूरा समाधान नहीं माना जाता।