Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.6

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 Ex 6.6

Ex 6.6 में Angle Bisector Theorem, similar triangles और Pythagoras theorem के advanced applications दिए गए हैं।

प्रश्न 1. Angle Bisector Theorem

∆PQR में PS, ∠QPR का angle bisector है। सिद्ध करना है:

QS/SR = PQ/PR.

R से RT || PS खींचते हैं। Parallel lines के कारण प्राप्त कोणों से ∆PTR में:

PT = PR.

अब proportionality theorem से:

PQ/PT = QS/SR.

PT = PR रखने पर:

QS/SR = PQ/PR.

प्रश्न 2

समकोण ∆ABC में BD ⊥ AC तथा DM ⊥ BC और DN ⊥ AB.

समरूप त्रिभुजों तथा rectangle BMDN के गुणों से:

DM² = DN × MC

और:

DN² = DM × AN.

प्रश्न 3. Obtuse triangle

यदि ∠ABC > 90° तथा AD ⊥ CB है, तो right triangles ABD और ACD पर Pythagoras theorem लगाने पर:

AC² = AB² + BC² + 2BC × BD.

प्रश्न 4. Pythagoras आधारित relation

दिए गए right triangles में समान रूप से Pythagoras theorem लागू करके मांगी गई squared-length relation प्राप्त की जाती है।

प्रश्न 5. Median और perpendicular

यदि AD, BC की median है और AM ⊥ BC है, तो दोनों right triangles में Pythagoras theorem लगाकर AC² और AB² को AD, BC और DM के terms में व्यक्त किया जाता है।

इससे:

AC² = AD² + BC × DM + (BC/2)²

और:

AB² = AD² – BC × DM + (BC/2)².

प्रश्न 9. Converse of Angle Bisector Theorem

दिया है:

BD/CD = AB/AC.

सिद्ध करना है कि AD, ∠BAC का bisector है।

BA को आगे बढ़ाकर E लेते हैं ताकि AE = AC.

तब:

BD/CD = AB/AE.

Converse of Basic Proportionality Theorem से:

AD || EC.

Parallel lines और AE = AC के कारण:

∠BAD = ∠CAD.

अतः:

AD, ∠BAC का angle bisector है।

प्रश्न 10. Fishing Rod

छड़ का सिरा पानी की सतह से 1.8 m ऊपर है। नाज़िमा से hook की horizontal दूरी 2.4 m है।

Right triangle में:

डोरी की लंबाई² = 1.8² + 2.4²

= 3.24 + 5.76 = 9.

अतः:

डोरी की लंबाई = 3.6 m.

Important Theorem

Angle Bisector Theorem: त्रिभुज में किसी कोण का आंतरिक समद्विभाजक विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है।

FAQs

Angle Bisector Theorem का formula क्या है?

यदि AD, ∠A का angle bisector है, तो BD/DC = AB/AC.

Angle Bisector Theorem का converse क्या बताता है?

यदि BD/DC = AB/AC है, तो AD, ∠A का angle bisector होगा।