Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 Ex 6.5
Ex 6.5 मुख्य रूप से पाइथागोरस प्रमेय और उसके विलोम पर आधारित है।
पाइथागोरस प्रमेय
समकोण त्रिभुज में:
कर्ण2 = आधार2 + लम्ब2
प्रश्न 1. समकोण त्रिभुज की जाँच
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252.
अतः यह समकोण त्रिभुज है और कर्ण 25 cm है।
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
सबसे बड़ी भुजा का वर्ग अन्य दोनों के वर्गों के योग के बराबर नहीं है।
अतः समकोण त्रिभुज नहीं है।
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
502 + 802 = 8900, जबकि 1002 = 10000.
अतः समकोण त्रिभुज नहीं है।
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm
122 + 52 = 144 + 25 = 169 = 132.
अतः समकोण त्रिभुज है और कर्ण 13 cm है।
प्रश्न 2
समकोण ∆PQR में PM ⊥ QR.
समरूप त्रिभुजों से:
PM2 = QM × MR.
प्रश्न 3
समकोण ∆ABD में AC ⊥ BD.
समरूप त्रिभुजों से:
- AB2 = BC × BD
- AC2 = BC × CD
- AD2 = BD × CD
प्रश्न 4
ABC समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है और AC = BC.
पाइथागोरस प्रमेय से:
AB2 = AC2 + BC2
चूँकि AC = BC:
AB2 = 2AC2.
प्रश्न 5
यदि AC = BC तथा AB2 = 2AC2, तो:
AB2 = AC2 + BC2.
अतः Pythagoras theorem के converse से:
∆ABC समकोण त्रिभुज है।
प्रश्न 6. समबाहु त्रिभुज की शीर्षलम्ब
समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा 2a है।
शीर्षलम्ब आधार को दो बराबर भागों में बाँटता है।
समकोण त्रिभुज से:
AD2 + a2 = (2a)2
AD2 = 3a2
AD = a√3.
प्रश्न 7. समचतुर्भुज
समचतुर्भुज के diagonals एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय को चारों छोटे right triangles पर लागू करने पर:
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2
प्रश्न 9. 10 m की सीढ़ी
सीढ़ी की लंबाई = 10 m और दीवार पर ऊँचाई = 8 m.
भूमि से दीवार की दूरी x:
x2 + 82 = 102
x2 = 100 – 64 = 36
x = 6 m.
प्रश्न 10. खम्भा और तार
खम्भे की ऊँचाई = 18 m तथा तार = 24 m.
दूरी x:
x2 + 182 = 242
x2 = 576 – 324 = 252
x = 6√7 m.
प्रश्न 12. दो खम्भे
खम्भों की ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m तथा आधारों की दूरी 12 m है।
ऊपरी सिरों की ऊँचाई का अन्तर:
11 – 6 = 5 m.
अतः:
AC2 = 122 + 52
= 144 + 25 = 169.
AC = 13 m.
प्रश्न 14
यदि BD = 3CD और AD ⊥ BC, तो दोनों right triangles में Pythagoras theorem लगाकर:
2AB2 = 2AC2 + BC2.
प्रश्न 16
समबाहु त्रिभुज में शीर्षलम्ब AD हो तो:
3AB2 = 4AD2.
प्रश्न 17
AB = 6√3 cm, AC = 12 cm और BC = 6 cm.
AB2 + BC2 = 108 + 36 = 144 = AC2.
अतः ∠B = 90°.
सही विकल्प: (C) 90°.
FAQs
Pythagoras theorem क्या है?
समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग आधार और लम्ब के वर्गों के योग के बराबर होता है।
Pythagoras theorem का converse कब प्रयोग करते हैं?
जब तीनों भुजाएँ दी गई हों और यह जाँचना हो कि त्रिभुज समकोण है या नहीं।