Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Ex 7.1

निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.1 में Distance Formula, collinear points, coordinate geometry की सहायता से त्रिभुज तथा चतुर्भुज की पहचान और equidistant points से संबंधित प्रश्न दिए गए हैं।

Distance Formula

यदि दो बिन्दु A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) हैं, तो उनके बीच की दूरी:

AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

प्रश्न 1. निम्न बिन्दुओं के बीच दूरी ज्ञात कीजिए

(i) (2, 3), (4, 1)

AB = √[(4 − 2)² + (1 − 3)²]

= √(4 + 4) = 2√2 मात्रक

(ii) (-5, 7), (-1, 3)

AB = √[4² + (-4)²] = 4√2 मात्रक

(iii) (a, b), (-a, -b)

AB = √[(-2a)² + (-2b)²]

= 2√(a² + b²)

प्रश्न 2. (0, 0) और (36, 15) के बीच दूरी

AB = √(36² + 15²)

= √(1296 + 225)

= √1521

= 39 मात्रक

प्रश्न 3. जाँच कीजिए कि बिन्दु संरेखी हैं या नहीं

दिए गए बिन्दु: (1, 5), (2, 3), (-2, -11)

दूरी सूत्र से:

PQ + QR ≠ PR

अतः तीनों बिन्दु संरेखी नहीं हैं।

प्रश्न 4. समद्विबाहु त्रिभुज की जाँच

बिन्दु: (5, -2), (6, 4), (7, -2)

दूरी निकालने पर:

PQ = QR.

अतः दिए गए बिन्दु एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि ABCD वर्ग है

A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4), D(6, 1)

चारों भुजाएँ बराबर हैं तथा दोनों विकर्ण भी बराबर हैं।

अतः ABCD एक वर्ग है।

प्रश्न 6. चतुर्भुज की पहचान

(i)

(-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)

चारों भुजाएँ बराबर तथा एक कोण समकोण है।

उत्तर: वर्ग।

(ii)

(-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)

पहले तीन बिन्दु संरेखी हैं।

अतः चतुर्भुज नहीं बनता।

(iii)

(4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)

सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।

अतः यह समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 7. X-अक्ष पर समदूरस्थ बिन्दु

माना बिन्दु (h, 0) है।

इसे (2, -5) और (-2, 9) से समान दूरी पर रखने पर:

h = 17/7

अतः अभीष्ट बिन्दु:

(17/7, 0)

प्रश्न 8. y का मान ज्ञात कीजिए

P(2, -3), Q(10, y) तथा PQ = 10.

√[8² + (y + 3)²] = 10

(y + 3)² = 36

y = 3 या -9

प्रश्न 9. Q समदूरस्थ है

Q(0, 1), P(6, -3), R(x, 6).

शर्त PQ = QR का प्रयोग करके x का मान निकाला जाता है।

इसके बाद QR और PR को Distance Formula से ज्ञात किया जाता है।

प्रश्न 10. x और y में सम्बन्ध

बिन्दु (x, y), (3, 6) तथा (-3, 4) से समदूरस्थ है।

अर्थात:

(x − 3)² + (y − 6)² = (x + 3)² + (y − 4)²

सरलीकरण करने पर:

3x + y = 5

Exam Tip

Distance Formula वाले प्रश्नों में square root को अंत तक सरल करें। Quadrilateral की पहचान के लिए sides और diagonals की तुलना करना सबसे उपयोगी तरीका है।

FAQs

Distance Formula क्या है?

AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].

तीन बिन्दुओं के संरेखी होने की जाँच कैसे करें?

या तो दूरी का उपयोग करके PQ + QR = PR जाँचें या तीनों बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य जाँचें।