Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.2

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 Ex 10.2

वृत्त Ex 10.2 में स्पर्श रेखा की लंबाई, स्पर्श रेखाओं के बीच कोण, समान्तर स्पर्श रेखाएँ, संकेन्द्रीय वृत्त, जीवा तथा वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज से संबंधित महत्वपूर्ण प्रश्न हैं।

मुख्य प्रमेय

• स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।
• किसी बाह्य बिन्दु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
• दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण और केन्द्र पर बना कोण सम्पूरक होते हैं।

प्रश्न 1. वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए

स्पर्श रेखा की लंबाई = 24 cm और केन्द्र से बाह्य बिन्दु की दूरी = 25 cm.

समकोण त्रिभुज से:

r² = 25² − 24²

= 625 − 576 = 49.

r = 7 cm.

प्रश्न 2. ∠PTQ ज्ञात कीजिए

दिया है ∠POQ = 110°.

OP ⟂ PT और OQ ⟂ QT.

चतुर्भुज OPTQ में:

∠POQ + ∠PTQ = 180°.

∠PTQ = 180° − 110°

= 70°.

प्रश्न 3. ∠POA ज्ञात कीजिए

दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 80° है।

केन्द्र पर कोण:

∠AOB = 180° − 80° = 100°.

OP कोण AOB को समद्विभाजित करता है।

अतः:

∠POA = 50°.

प्रश्न 4. सिद्ध कीजिए कि व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर होती हैं

व्यास AB के सिरों A और B पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं।

OA ⟂ PQ तथा OB ⟂ RS.

क्योंकि OA और OB एक ही सीधी रेखा पर हैं:

∠PAB = ∠ABS = 90°.

ये alternate interior angles हैं।

अतः PQ || RS.

प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु पर खींचा गया लम्ब केन्द्र से होकर जाता है

स्पर्श बिन्दु P पर खींची गई स्पर्श रेखा AB है।

OP वृत्त की त्रिज्या है।

वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।

अतः P से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब उसी रेखा में केन्द्र O को रखता है।

अतः लम्ब केन्द्र से होकर जाता है।

प्रश्न 6. वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए

बाह्य बिन्दु A से केन्द्र की दूरी 5 cm तथा स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है।

r² = 5² − 4²

= 25 − 16 = 9.

r = 3 cm.

प्रश्न 7. बड़े वृत्त की जीवा की लंबाई

दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm और 3 cm हैं। बड़े वृत्त की जीवा छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।

केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

आधा जीवा:

√(5² − 3²) = √16 = 4 cm.

अतः पूरी जीवा:

AB = 8 cm.

प्रश्न 8. सिद्ध कीजिए AB + CD = AD + BC

वृत्त के परिगत ABCD चतुर्भुज है।

एक ही बाह्य बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है:

AP = AS, PB = BQ, QC = CR और DR = DS.

अतः:

AB + CD

= AP + PB + CR + DR

= AS + BQ + QC + DS

= AD + BC.

अतः AB + CD = AD + BC.

प्रश्न 9. सिद्ध कीजिए ∠AOB = 90°

दो समान्तर स्पर्श रेखाओं तथा तीसरी स्पर्श रेखा से बने configuration में बाह्य बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की बराबरी का उपयोग करके संबंधित त्रिभुजों को सर्वांगसम सिद्ध किया जाता है।

इससे:

∠AOC + ∠COB = 90°.

अतः:

∠AOB = 90°.

प्रश्न 10. स्पर्श रेखाओं और केन्द्र पर कोण का संबंध

बाह्य बिन्दु P से PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं।

OA ⟂ PA और OB ⟂ PB.

चतुर्भुज OAPB में:

∠AOB + 90° + 90° + ∠APB = 360°.

अतः:

∠AOB + ∠APB = 180°.

अर्थात दोनों कोण सम्पूरक हैं।

प्रश्न 11. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है

बाह्य बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की बराबरी और त्रिभुजों की सर्वांगसमता का प्रयोग करने पर:

AB = BC = CD = DA.

अतः ABCD एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 12. त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए

अन्तर्वृत्त की त्रिज्या 4 cm है और BC के दो खण्ड 6 cm तथा 8 cm हैं।

स्पर्श रेखाओं की बराबरी से:

AB = x + 6

AC = x + 8

BC = 14.

Heron’s formula लगाने पर:

(x + 14)(x − 7) = 0.

लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए:

x = 7.

अतः:

AB = 13 cm

AC = 15 cm.

प्रश्न 13. सिद्ध कीजिए कि आमने-सामने की भुजाएँ केन्द्र पर सम्पूरक कोण अन्तरित करती हैं

वृत्त के परिगत ABCD में केन्द्र O से स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने पर प्रत्येक कोण का आधा-आधा विभाजन प्राप्त होता है।

चारों कोणों का योग 360° होने से:

∠AOB + ∠COD = 180°.

अतः सिद्ध हुआ।

Important Formulas

• स्पर्श त्रिज्या ⟂ स्पर्श रेखा
• बाह्य बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
• r² = d² − t²
• दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण + केन्द्र पर कोण = 180°
• केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

FAQs

क्या बाह्य बिन्दु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं?

हाँ, किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं।

स्पर्श रेखा और त्रिज्या में क्या संबंध है?

स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।