Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths Chapter 10 वृत्त Additional Questions

यहाँ वृत्त Chapter 10 के महत्वपूर्ण MCQ, अतिलघु उत्तरीय, लघु उत्तरीय और दीर्घ उत्तरीय प्रश्न दिए गए हैं। ये प्रश्न स्पर्श रेखा, जीवा, चक्रीय चतुर्भुज, दो वृत्तों की स्पर्श स्थिति और tangent theorem पर आधारित हैं।

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1

त्रिज्या 4 cm और केन्द्र से बाह्य बिन्दु की दूरी 5 cm है। स्पर्श रेखा की लंबाई:

√(5² − 4²) = √9.

उत्तर: 3 cm.

प्रश्न 2

दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 3.6 cm और 1.6 cm हैं तथा वे बाह्यतः स्पर्श करते हैं।

केन्द्रों की दूरी:

3.6 + 1.6 = 5.2 cm.

प्रश्न 3

केन्द्रों की दूरी 7 cm और एक त्रिज्या 3 cm है। बाह्यतः स्पर्श करने वाले दूसरे वृत्त की त्रिज्या:

7 − 3 = 4 cm.

प्रश्न 4

दिए गए tangent-angle configuration में:

∠BAP = 60°.

प्रश्न 5

दिए गए cyclic quadrilateral और tangent के अनुसार:

∠DAB = 70°.

प्रश्न 6

यदि ∠BOA = 120° है, तो tangent और chord द्वारा बना कोण:

∠BAC = 60°.

प्रश्न 7

यदि contact chord द्वारा वृत्त पर ∠PAQ = 70° बनाया गया है, तो दो tangents के बीच का कोण:

40°.

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. केन्द्र से दूरी

त्रिज्या = 5 cm और tangent = 12 cm.

OP² = 5² + 12² = 169.

OP = 13 cm.

प्रश्न 2. वृत्त की त्रिज्या

केन्द्र से बाह्य बिन्दु की दूरी 5 cm तथा tangent 3 cm.

r² = 25 − 9 = 16.

r = 4 cm.

प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए AE + ED = BE + EC

एक ही बाह्य बिन्दु से खींची गई tangents बराबर होती हैं:

AE = EC और ED = EB.

दोनों equations जोड़ने पर:

AE + ED = BE + EC.

प्रश्न 4. ∠AOB ज्ञात कीजिए

यदि ∠APB = 50° है, तो:

∠AOB + ∠APB = 180°.

अतः:

∠AOB = 130°.

प्रश्न 5. ∠OAB ज्ञात कीजिए

यदि ∠APB = 50°, तो ∆APB में:

∠PAB = ∠PBA = 65°.

OA ⟂ AP होने से:

∠OAB = 90° − 65°.

∠OAB = 25°.

प्रश्न 6. ∠BAP ज्ञात कीजिए

Alternate segment theorem से ∠ABP = 60° और semicircle theorem से ∠APB = 90°.

अतः:

∠BAP = 180° − 60° − 90°.

∠BAP = 30°.

प्रश्न 7. ∠AOB और ∠OBA

यदि tangent-chord angle 60° है, तो:

∠AOB = 2 × 60° = 120°.

∆OAB isosceles है।

अतः:

∠OBA = 30°.

प्रश्न 8. ∠CBA ज्ञात कीजिए

अर्धवृत्त में:

∠ACB = 90°.

दिए गए angle से:

∠PCB = 30°.

Alternate segment theorem से:

∠CAB = 30°.

अतः:

∠CBA = 180° − 90° − 30°.

∠CBA = 60°.

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. बाह्य बिन्दु से दो स्पर्श रेखाएँ

यदि बाह्य बिन्दु A से AP और AQ स्पर्श रेखाएँ हैं, तो:

OP = OQ, OA उभयनिष्ठ और दोनों tangent-radius angles 90° हैं।

अतः RHS congruence से:

AP = AQ

और:

∠AOP = ∠AOQ.

प्रश्न 2. सिद्ध कीजिए DC = EF

दोनों वृत्तों की बाहरी tangent lengths की बराबरी से:

PC = PF

और:

PD = PE.

अतः:

PC − PD = PF − PE.

DC = EF.

प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए ∠APB = 90°

दो बाह्यतः स्पर्श करने वाले वृत्तों और common tangent की सहायता से सिद्ध होता है कि common tangent का संबंधित midpoint configuration बनता है।

अतः:

∠APB = 90°.

प्रश्न 4. PB ज्ञात कीजिए

दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm और 3 cm हैं तथा PA = 12 cm.

पहले:

OP = √(5² + 12²) = 13 cm.

अब:

PB² = 13² − 3² = 160.

PB = 4√10 cm.

प्रश्न 5. BC ज्ञात कीजिए

PA = 4 cm, PB = 6 cm और AC = 12 cm.

AP = AR = 4 cm.

CR = 12 − 4 = 8 cm.

CR = CQ = 8 cm और PB = BQ = 6 cm.

अतः:

BC = 6 + 8.

BC = 14 cm.

प्रश्न 6. केन्द्र और स्पर्श बिन्दु संरेखी हैं

स्पर्श बिन्दु P पर दोनों वृत्तों की common tangent एक ही होती है। दोनों केन्द्रों से P तक खींची गई radii इस tangent पर perpendicular होती हैं। एक बिन्दु से किसी रेखा पर केवल एक perpendicular खींचा जा सकता है।

अतः दोनों केन्द्र और स्पर्श बिन्दु एक ही रेखा पर हैं।

प्रश्न 7. ∠PQR ज्ञात कीजिए

यदि ∠BAC = 100° है, तो tangent lengths की equality और alternate segment theorem के प्रयोग से:

∠PQR = 40°.

प्रश्न 8. सिद्ध कीजिए TP = TQ

दिए गए angle-bisector configuration में alternate segment theorem से:

∠TPQ = ∠TQP.

अतः समान कोणों के सामने की भुजाएँ बराबर होंगी।

TP = TQ.

प्रश्न 9. सिद्ध कीजिए ∠PTQ = 2∠OPQ

OP और OQ radii हैं और TP तथा TQ tangents हैं।

∆OPQ में OP = OQ, इसलिए:

∠OPQ = ∠OQP.

चतुर्भुज OPTQ से:

∠POQ + ∠PTQ = 180°.

और:

∠POQ = 180° − 2∠OPQ.

अतः:

∠PTQ = 2∠OPQ.

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. सिद्ध कीजिए कि R चाप PRQ को समद्विभाजित करता है

स्पर्श रेखा AB, जीवा PQ के समान्तर है। OR को मिलाने पर OR ⟂ AB तथा PQ.

इससे PM = MQ प्राप्त होता है। फिर congruent triangles से:

PR = QR.

समान जीवाएँ समान चाप काटती हैं।

अतः R, चाप PRQ को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 2. Tangent-Chord Theorem

सिद्ध करना है कि स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण संबंधित alternate segment के कोण के बराबर होता है।

व्यास खींचकर right triangle तथा cyclic quadrilateral के angle relations का प्रयोग करते हैं।

फलतः:

∠BAR = ∠BCA

और:

∠BAP = ∠BDA.

प्रश्न 3. दो अन्तःस्पर्शी वृत्त

दो वृत्त P पर अन्तःस्पर्श करते हैं और बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त को C पर स्पर्श करती है। सिद्ध करना है कि CP, ∠APB का angle bisector है।

Common tangent और alternate segment theorem के प्रयोग से:

∠PBC = ∠PCD

तथा:

∠PCB = ∠PDC.

अतः संबंधित triangles समान कोणों के कारण similar होते हैं और:

∠BPC = ∠DPC.

इसलिए:

CP, ∠APB का अर्द्धक है।

Chapter 10 Important Theorems

• स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।
• बाह्य बिन्दु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
• स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण alternate segment के कोण के बराबर होता है।
• केन्द्र से जीवा पर डाला गया perpendicular जीवा को bisect करता है।
• समान जीवाएँ समान चाप काटती हैं।
• दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण केन्द्र पर बने कोण का supplement होता है।
• बाह्यतः स्पर्श करने वाले दो वृत्तों के केन्द्र और स्पर्श बिन्दु संरेखी होते हैं।

Exam Tip

Chapter 10 में theorem-based questions बहुत महत्वपूर्ण हैं। खासकर tangent-radius theorem, equal tangents theorem, alternate segment theorem और chord theorem को diagram के साथ जरूर तैयार करें।

FAQs

Chapter 10 में सबसे महत्वपूर्ण theorem कौन-सा है?

स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच 90° का संबंध तथा बाह्य बिन्दु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की समानता बहुत महत्वपूर्ण है।

क्या दो वृत्त बाह्यतः स्पर्श करें तो उनके केन्द्र और स्पर्श बिन्दु एक सीधी रेखा पर होते हैं?

हाँ।

दो tangents के बीच angle कैसे निकालते हैं?

दोनों tangents के बीच का angle = 180° − केन्द्र पर corresponding angle.