Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 Ex 11.1

Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 में रेखाखण्ड को दिए गए अनुपात में विभाजित करना, दिए गए त्रिभुज के समरूप त्रिभुज की रचना करना तथा किसी त्रिभुज की भुजाओं को दिए गए अनुपात में बढ़ाकर या घटाकर नया त्रिभुज बनाना सिखाया गया है।

Chapter 11 Ex 11.1 में क्या पढ़ेंगे?

• रेखाखण्ड को दिए गए अनुपात में विभाजित करना
• समरूप त्रिभुज की रचना
• त्रिभुज की भुजाओं को दिए अनुपात में बढ़ाना
• त्रिभुज की भुजाओं को दिए अनुपात में घटाना
• रचना का औचित्य सिद्ध करना

प्रश्न 1. 7.6 cm के रेखाखण्ड को 5 : 8 में विभाजित कीजिए

AB = 7.6 cm का रेखाखण्ड खींचिए। A से एक न्यून कोण बनाती हुई किरण AX खींचिए। AX पर 5 + 8 = 13 समान भाग अंकित कीजिए।

A₅ को B से मिलाकर A₅ से A₁₃B के समान्तर रेखा खींचिए। यह AB को P पर काटेगी।

समरूप त्रिभुजों से:

AP : PB = 5 : 8

मापने पर:

AP = 2.9 cm तथा PB = 4.7 cm.

प्रश्न 2. 4 cm, 5 cm और 6 cm भुजाओं वाले त्रिभुज का 2/3 समरूप त्रिभुज

पहले BC = 5 cm लेकर AB = 4 cm तथा AC = 6 cm की सहायता से त्रिभुज ABC बनाइए।

B से एक किरण BD खींचकर उस पर 3 समान भाग अंकित करें। B₂ से B₃C के समान्तर रेखा खींचने पर:

BC’ = 2/3 BC.

फिर C’ से AC के समान्तर रेखा खींचने पर A’ प्राप्त होगा।

अतः:

BA’ : BA = BC’ : BC = 2 : 3.

इसलिए ΔA’BC’ मूल त्रिभुज के समरूप है और उसकी प्रत्येक संगत भुजा मूल त्रिभुज की 2/3 है।

प्रश्न 3. 5 cm, 6 cm और 7 cm भुजाओं वाले त्रिभुज की 7/5 गुनी रचना

BC = 6 cm लेकर AB = 5 cm तथा AC = 7 cm की सहायता से त्रिभुज ABC बनाइए।

B से किरण BD खींचकर 7 समान भाग अंकित करें। उचित समान्तर रेखा द्वारा:

BC’ = 7/5 BC.

इसी प्रकार:

BA’ = 7/5 BA

और:

C’A’ = 7/5 CA.

अतः प्राप्त त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप है।

प्रश्न 4. 8 cm आधार और 4 cm ऊँचाई वाले समद्विबाहु त्रिभुज की 3/2 गुनी रचना

AB = 8 cm खींचकर उसका लम्ब समद्विभाजक बनाइए। मध्य बिन्दु से 4 cm ऊँचाई लेकर शीर्ष C प्राप्त करें।

इसके बाद समान्तर रेखाओं की सहायता से scale factor:

3/2

का समरूप त्रिभुज बनाइए।

प्रश्न 5. BC = 6 cm, AB = 5 cm और ∠B = 60° वाले त्रिभुज की 3/4 गुनी रचना

BC = 6 cm खींचिए और B पर 60° का कोण बनाकर AB = 5 cm काटिए। AC मिलाने पर ABC प्राप्त होगा।

समान्तर रेखाओं की सहायता से:

BC’ : BC = 3 : 4.

अतः:

BA’ : BA = C’A’ : CA = 3 : 4.

प्रश्न 6. BC = 7 cm, ∠B = 45° और ∠A = 105°

दिए गए angles और BC = 7 cm से पहले ABC बनाइए। फिर किरण पर 4 समान भाग लेकर समान्तर रेखाओं की सहायता से:

∆A’BC’ की संगत भुजाएँ = 4/3 × ∆ABC की संगत भुजाएँ.

प्रश्न 7. 3 cm और 4 cm की समकोण त्रिभुज की 5/3 गुनी रचना

3 cm और 4 cm की perpendicular भुजाएँ लेकर समकोण त्रिभुज ABC बनाइए।

फिर समान्तर रेखा construction से:

BC’ = 5/3 BC

और:

A’B = 5/3 AB.

अतः प्राप्त त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप है।

रचना में उपयोग होने वाला मुख्य सिद्धांत

यदि दो त्रिभुजों में एक भुजा के समान्तर रेखा खींची जाती है, तो बनने वाले त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं। इसी समानता के आधार पर दिए गए अनुपात में नया त्रिभुज बनाया जाता है।

Important Points

• अनुपात p : q में विभाजन के लिए किरण पर कुल p + q समान भाग लिए जाते हैं।
• छोटा समरूप त्रिभुज बनाने के लिए scale factor 1 से कम होता है।
• बड़ा समरूप त्रिभुज बनाने के लिए scale factor 1 से अधिक होता है।
• समान्तर रेखाओं के कारण बने त्रिभुज समरूप होते हैं।
• हर construction question में रचना के साथ औचित्य लिखना आवश्यक है।

FAQs

Ex 11.1 में मुख्य topic क्या है?

इस exercise का मुख्य topic रेखाखण्ड का विभाजन और दिए गए त्रिभुज के समरूप त्रिभुज की रचना है।

समरूप त्रिभुज कैसे बनाया जाता है?

किसी एक vertex से auxiliary ray बनाकर उस पर समान भाग अंकित किए जाते हैं और समान्तर रेखाओं की सहायता से दिए गए अनुपात का त्रिभुज बनाया जाता है।

क्या construction में justification लिखना जरूरी है?

हाँ, textbook exercise में प्रत्येक construction के लिए उसका औचित्य भी देना है।