Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 11 Ex 11.2

Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 में वृत्त पर स्पर्श रेखा-युग्म की रचना, बाह्य बिन्दु से स्पर्श रेखाएँ, संकेन्द्रीय वृत्तों पर tangent तथा दो वृत्तों की common tangents की रचना से संबंधित प्रश्न हैं।

मुख्य अवधारणाएँ

• वृत्त की स्पर्श रेखा
• बाह्य बिन्दु से स्पर्श रेखा
• स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या और tangent का 90° संबंध
• दो स्पर्श रेखाओं की समान लंबाई
• संकेन्द्रीय वृत्त
• दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा

प्रश्न 1. 6 cm त्रिज्या के वृत्त पर 10 cm दूर बिन्दु से स्पर्श रेखाएँ

O को केन्द्र और 6 cm त्रिज्या लेकर वृत्त बनाइए। O से 10 cm दूर P बिन्दु लें और OP मिलाएँ।

OP को व्यास मानकर एक वृत्त बनाइए। यह मूल वृत्त को T₁ और T₂ पर काटेगा।

PT₁ और PT₂ मिलाने पर दोनों स्पर्श रेखाएँ प्राप्त होंगी।

मापने पर:

PT₁ = PT₂ = 8 cm.

क्योंकि ∠OT₁P और ∠OT₂P = 90°, इसलिए दोनों रेखाएँ tangent हैं।

प्रश्न 2. 4 cm त्रिज्या के वृत्त पर 6 cm त्रिज्या वाले संकेन्द्रीय वृत्त के बिन्दु से tangent

दोनों वृत्तों का केन्द्र O समान रखें। बाहरी वृत्त पर P बिन्दु लें। OP का लम्ब समद्विभाजक खींचें।

OP को व्यास मानकर बनाए गए वृत्त से मूल वृत्त के प्रतिच्छेद बिन्दुओं को T₁, T₂ लें।

PT₁ तथा PT₂ स्पर्श रेखाएँ होंगी।

मापने पर प्रत्येक tangent की लंबाई लगभग:

4.5 cm.

प्रश्न 3. केन्द्र से 7 cm दूर P और Q से 3 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर tangents

3 cm त्रिज्या का वृत्त बनाकर उसका व्यास दोनों ओर बढ़ाएँ। O से 7 cm दूरी पर P तथा Q लें।

OP और OQ के मध्य-बिन्दु ज्ञात करके उन बिन्दुओं को केन्द्र मानकर auxiliary circles बनाइए।

प्रतिच्छेद बिन्दुओं को P तथा Q से मिलाने पर:

PT₁, PT₂, QS₁, QS₂

चारों अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ प्राप्त होती हैं।

प्रश्न 4. 5 cm त्रिज्या के वृत्त पर 60° के कोण वाली दो स्पर्श रेखाएँ

यदि दो tangents के बीच का कोण 60° है, तो corresponding central angle:

180° − 60° = 120°.

अतः केन्द्र O पर 120° का angle बनाकर संबंधित radii के सिरों पर perpendicular tangents खींचिए।

प्राप्त दोनों tangents के बीच का angle:

60°.

प्रश्न 5. 8 cm दूर स्थित दो वृत्तों पर स्पर्श रेखाएँ

AB = 8 cm लें। A केन्द्र से 4 cm तथा B केन्द्र से 3 cm त्रिज्या के वृत्त बनाइए।

AB को व्यास मानकर auxiliary circle बनाइए। इसके प्रतिच्छेद बिन्दुओं की सहायता से दोनों वृत्तों की tangents खींची जाती हैं।

इस construction में semicircle theorem के कारण प्राप्त angles 90° होते हैं, इसलिए संबंधित रेखाएँ स्पर्श रेखाएँ होती हैं।

प्रश्न 6. समकोण त्रिभुज से बने वृत्त पर A से tangent

AB = 6 cm, BC = 8 cm और ∠B = 90° वाला त्रिभुज ABC बनाइए। B से AC पर BD perpendicular खींचिए।

B, C और D से गुजरने वाला वृत्त बनाइए।

चूँकि ∠ABC = 90°, इसलिए AB स्वयं वृत्त की स्पर्श रेखा है। A से दूसरी स्पर्श रेखा की रचना की जाती है।

प्रश्न 7. केन्द्र अज्ञात वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु से tangent

यदि किसी वृत्त का केन्द्र ज्ञात नहीं है, तो बाहरी बिन्दु P से दो छेदक रेखाएँ खींचकर वृत्त पर दो chords प्राप्त कीजिए।

दोनों chords के perpendicular bisectors खींचने पर उनका प्रतिच्छेद बिन्दु O वृत्त का केन्द्र होगा।

अब OP का मध्य-बिन्दु M लेकर OP को व्यास मानकर auxiliary circle बनाइए। यह मूल वृत्त को T₁ और T₂ पर काटेगा।

PT₁ और PT₂ ही अभीष्ट tangents हैं।

मुख्य Theorem

स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।

इसी theorem का उपयोग करके auxiliary circle की सहायता से tangent construction किया जाता है।

Exam Tip

Construction question में केवल diagram बनाना पर्याप्त नहीं है। दिया है, रचना करनी है, रचना विधि और औचित्य को क्रम से लिखना चाहिए।

FAQs

Ex 11.2 में कितने प्रश्न हैं?

इस exercise में कुल 7 textbook construction questions हैं।

बाह्य बिन्दु से tangent बनाने का मुख्य तरीका क्या है?

बाह्य बिन्दु और केन्द्र को मिलाकर उसे व्यास मानकर auxiliary circle बनाया जाता है। उसके intersection points को बाह्य बिन्दु से मिलाने पर tangents प्राप्त होती हैं।

Tangent और radius में कितना कोण होता है?

स्पर्श बिन्दु पर tangent और radius के बीच कोण 90° होता है।