Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 12 Ex 12.3

Ex 12.3 में मुख्य रूप से shaded region, circle, semicircle, quadrant, sector, square और triangle के संयुक्त क्षेत्रफल से जुड़े questions हैं।

Important Concept

Shaded area वाले questions में सामान्यतः:

Shaded Area = बड़े आकृति का क्षेत्रफल − हटाए गए भाग का क्षेत्रफल

या आवश्यकता के अनुसार:

Shaded Area = जोड़े गए भागों का क्षेत्रफल − हटाए गए भागों का क्षेत्रफल.

प्रश्न 1. PQ = 24 cm और PR = 7 cm

QR व्यास है और ∠QPR = 90°.

पाइथागोरस प्रमेय से:

QR² = 24² + 7² = 625.

अतः:

QR = 25 cm.

वृत्त की radius:

r = 12.5 cm.

इसके बाद semicircle और triangle के क्षेत्रफलों का अंतर लेकर shaded area प्राप्त किया जाता है।

प्रश्न 2. दो Concentric Circles

दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।

Shaded region sector/ring के क्षेत्रफल के अंतर से निकाला जाता है।

उत्तर = 42 cm².

प्रश्न 3. Square और दो semicircles

वर्ग ABCD की भुजा 14 cm है और उसकी दो opposite sides को diameter मानकर दो semicircles बनाए गए हैं।

वर्ग का क्षेत्रफल:

14² = 196 cm².

दो semicircles का कुल क्षेत्रफल:

π × 7² = 154 cm².

अतः shaded area:

196 − 154

= 42 cm².

प्रश्न 4. Equilateral Triangle और Major Sector

समबाहु त्रिभुज की भुजा = 12 cm.

समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक angle = 60°.

Major sector का angle:

360° − 60° = 300°.

Radius = 6 cm.

Shaded area:

= 660/7 + 36√3 cm².

प्रश्न 5. Square से चार quadrants और एक circle हटाया गया है

वर्ग की भुजा = 4 cm.

वर्ग का area = 16 cm².

चारों corner quadrants की radius = 1 cm.

चार quadrants का कुल area = π cm².

बीच के circle की radius = 1 cm.

उसका area = π cm².

अतः remaining shaded area:

16 − 2π

= 68/7 cm².

प्रश्न 6. Circular Tablecloth और Equilateral Triangle

वृत्ताकार tablecloth की radius 32 cm है और बीच में equilateral triangle छोड़ा गया है।

पहले triangle के प्रत्येक central sector का क्षेत्रफल निकालें और फिर circle से आवश्यक भाग घटाएँ।

प्रश्न 7. चार बाह्यतः स्पर्श करते circles

वर्ग ABCD की भुजा 14 cm है। चारों vertices को centre मानकर चार circles बनाए गए हैं।

प्रत्येक circle की radius = 7 cm.

चारों circles के sector areas तथा square के area की सहायता से shaded region प्राप्त करें।

प्रश्न 8. Racing Track

दो straight parallel portions की लंबाई 106 m है और उनके बीच की दूरी 60 m है। Track की width 10 m है।

Inner semicircle radius:

r = 30 m.

Inner boundary की एक पूरी lap की लंबाई:

= 2804/7 m.

Track area निकालने के लिए outer और inner radii का अंतर तथा rectangular portions का area जोड़ें।

प्रश्न 9. दो concentric/related circles और semicircle

OA = 7 cm है। छोटे circle का diameter 7 cm होने से उसकी radius:

3.5 cm.

छोटे circle का area:

38.5 cm².

संबंधित semicircle और triangle के shaded हिस्से का area 28 cm² प्राप्त होता है।

अतः कुल shaded area:

66.5 cm².

प्रश्न 10. Equilateral Triangle और तीन circles

Triangle का area = 17320.5 cm² है।

प्रत्येक vertex को centre मानकर triangle की side के आधे के बराबर radius वाले circles बनाए गए हैं।

Calculation के बाद:

Shaded area = 1620.5 cm².

प्रश्न 11. Square Handkerchief और 9 circles

प्रत्येक circle की radius = 7 cm.

एक circle का area:

π × 7² = 154 cm².

9 circles का area:

9 × 154 = 1386 cm².

प्रत्येक row में 3 circles होने के कारण square की side:

3 × 14 = 42 cm.

Square का area:

42² = 1764 cm².

Remaining area:

1764 − 1386 = 378 cm².

प्रश्न 12. Circular Path

Circular path में inner और outer radii का प्रयोग करके annular portion का area निकालें। यदि straight portions भी हैं, तो उनके rectangular areas को जोड़ें।

प्रश्न 13. Quadrant में Square

Square की side OA = 20 cm.

Square का diagonal:

OB = 20√2 cm.

अतः quadrant की radius:

20√2 cm.

Quadrant का area:

628 cm².

Square का area:

400 cm².

Shaded area:

628 − 400 = 228 cm².

प्रश्न 14. दो concentric sectors

बड़े circle की radius = 21 cm तथा छोटे circle की radius = 7 cm है। Central angle = 30°.

दोनों sectors के areas का अंतर लेकर:

Shaded area = 70 cm².

प्रश्न 15. Quadrant और semicircle

Quadrant की radius = 14 cm.

Quadrant area:

154 cm².

Right triangle ABC का area:

98 cm².

BC = 14√2 cm.

इस diameter से बने semicircle का area भी:

154 cm².

अब दिए गए figure के अनुसार संबंधित areas का अंतर लेकर shaded region प्राप्त करें।

Important Formulas

• Circle Area = πr²
• Semicircle Area = 1/2 πr²
• Quadrant Area = 1/4 πr²
• Sector Area = θ/360 × πr²
• Triangle Area = 1/2 × base × height
• Equilateral Triangle Area = √3/4 × a²
• Annulus Area = π(R² − r²)

Exam Tips

• Figure को ध्यान से पढ़ें।
• पहले सभी radii और diameters identify करें।
• Shaded और unshaded parts को अलग-अलग calculate करें।
• Semicircle और quadrant के formulas में 1/2 और 1/4 का ध्यान रखें।
• जहाँ आवश्यक हो वहाँ Pythagoras theorem का प्रयोग करें।

FAQs

Ex 12.3 में मुख्य topic क्या है?

इस exercise का मुख्य topic विभिन्न geometric figures से बने shaded areas का क्षेत्रफल निकालना है।

Annulus का area क्या होता है?

बड़े वृत्त के क्षेत्रफल में से छोटे वृत्त का क्षेत्रफल घटाने पर annulus का area मिलता है: π(R² − r²).

Shaded area questions में सबसे पहले क्या करना चाहिए?

सबसे पहले figure से radius, diameter, side और angle की जानकारी निकालें और फिर बड़े तथा छोटे भागों के area अलग-अलग निकालें।