Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Ex 2.2

Ex 2.2 में द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात करना तथा शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की जाँच करना सिखाया गया है।

द्विघात बहुपद के महत्वपूर्ण संबंध

यदि द्विघात बहुपद:

ax² + bx + c

के शून्यक α और β हैं, तो:

α + β = -b/a

αβ = c/a

प्रश्न 1. शून्यक ज्ञात कीजिए और संबंध सत्यापित कीजिए

(i) x² − 2x − 8

x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2)

अतः:

x = 4, −2

शून्यकों का योग = 4 − 2 = 2

−b/a = −(−2)/1 = 2

शून्यकों का गुणनफल = 4 × (−2) = −8

c/a = −8/1 = −8

(ii) 4s² − 4s + 1

4s² − 4s + 1 = (2s − 1)²

अतः दोनों शून्यक:

s = 1/2, 1/2

योग = 1

−b/a = 4/4 = 1

गुणनफल = 1/4

c/a = 1/4

(iii) 6x² − 7x − 3

6x² − 7x − 3 = (2x − 3)(3x + 1)

अतः:

x = 3/2, −1/3

योग = 3/2 − 1/3 = 7/6

−b/a = 7/6

गुणनफल = (3/2)(−1/3) = −1/2

c/a = −3/6 = −1/2

(iv) 4u² + 8u

4u² + 8u = 4u(u + 2)

अतः शून्यक:

u = 0, −2

योग = −2 = −b/a

गुणनफल = 0 = c/a

(v) t² − 15

t² − 15 = 0

t² = 15

अतः:

t = √15 और −√15

योग = 0 = −b/a

गुणनफल = −15 = c/a

(vi) 3x² − x − 4

3x² − x − 4 = (3x − 4)(x + 1)

अतः:

x = 4/3 और −1

योग = 4/3 − 1 = 1/3

−b/a = 1/3

गुणनफल = −4/3

c/a = −4/3

प्रश्न 2. दिए गए योगफल और गुणनफल से द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए

यदि शून्यकों का योग S और गुणनफल P है, तो:

Polynomial = x² − Sx + P

(i) S = 1/4, P = −1

अतः polynomial:

x² − x/4 − 1

या समान गुणक से:

4x² − x − 4

(ii) S = √2, P = 1/3

x² − √2x + 1/3

(iii) S = 0, P = √5

x² + √5

(iv) S = 1, P = 1

x² − x + 1

(v) S = −1/4, P = 1/4

x² + x/4 + 1/4

या:

4x² + x + 1

(vi) S = 4, P = 1

x² − 4x + 1

Important Formula

यदि α और β quadratic polynomial के zeroes हैं:

α + β = −b/a

αβ = c/a

Exam Tips

• पहले polynomial को factorise करने का प्रयास करें।
• Zeroes निकालने के बाद sum और product अलग-अलग verify करें।
• दिए गए sum और product से polynomial बनाते समय x² − Sx + P formula याद रखें।

FAQs

Quadratic polynomial का standard form क्या है?

ax² + bx + c, जहाँ a ≠ 0.

Zeroes और coefficients का मुख्य relation क्या है?

α + β = −b/a तथा αβ = c/a.