Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Ex 2.3
इस exercise में Polynomial Division Algorithm, factorisation और polynomial के zeroes से जुड़े प्रश्न हैं।
Polynomial Division Algorithm
यदि p(x) को g(x) से divide करने पर quotient q(x) और remainder r(x) मिलता है, तो:
p(x) = g(x)q(x) + r(x)
प्रश्न 1. Division Algorithm से quotient और remainder ज्ञात कीजिए
(i)
p(x) = x³ − 3x² + 5x − 3
g(x) = x² − 2
Polynomial division करने पर:
q(x) = x − 3
r(x) = 7x − 3
अतः:
p(x) = (x² − 2)(x − 3) + (7x − 3)
(ii)
p(x) = x⁴ − 3x² + 4x + 5
g(x) = x² − x + 1
Division के बाद:
q(x) = x² + x − 3
r(x) = 8
(iii)
p(x) = x⁴ − 5x + 6
g(x) = 2 − x²
Division के बाद:
q(x) = −x² − 2
r(x) = −5x + 10
प्रश्न 2. जाँच कीजिए कि पहला polynomial दूसरे का factor है या नहीं
(i)
g(t) = t² − 3
p(t) = 2t⁴ + 3t³ − 2t² − 9t − 12
Division के बाद remainder = 0
अतः t² − 3, दिए गए polynomial का factor है।
(ii)
g(x) = x² + 3x + 1
p(x) = 3x⁴ + 5x³ − 7x² + 2x + 2
Remainder = 0
अतः x² + 3x + 1 factor है।
(iii)
g(x) = x³ − 3x + 1
p(x) = x⁵ − 4x³ + x² + 3x + 1
Remainder = 29x − 9
क्योंकि remainder zero नहीं है, इसलिए यह polynomial का factor नहीं है।
प्रश्न 3. अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए
दिया गया polynomial:
3x⁴ + 6x³ − 2x² − 10x − 5
दो zeroes हैं:
√(5/3) और −√(5/3)
इन दोनों के corresponding factor हैं:
x² − 5/3
Polynomial को इससे divide करने पर:
3x² + 6x + 3 = 3(x + 1)²
अतः अन्य दोनों zeroes:
−1 और −1
प्रश्न 4. भाजक g(x) ज्ञात कीजिए
दिया है:
p(x) = x³ − 3x² + x + 2
q(x) = x − 2
r(x) = −2x + 4
Division algorithm:
p(x) = g(x)q(x) + r(x)
अतः:
g(x)(x − 2) = p(x) − r(x)
= x³ − 3x² + 3x − 2
अब divide करने पर:
g(x) = x² − x + 1
प्रश्न 5. Division Algorithm को satisfy करने वाले उदाहरण दीजिए
(i) Degree p(x) = Degree q(x)
उदाहरण:
p(x) = 2x³ + 5x² + 7x + 16
g(x) = 2
q(x) = x³
r(x) = 5x² + 7x + 16
(ii) Degree q(x) = Degree r(x)
उदाहरण:
p(x) = x³ + x² + x + 1
g(x) = x² − 1
q(x) = x + 1
r(x) = 2x + 2
(iii) Degree r(x) = 0
उदाहरण:
p(x) = x³ + 2
g(x) = x² − x + 1
q(x) = x + 1
r(x) = 1
Exam Tips
- Polynomial division में terms को descending order में रखें।
- Remainder की degree divisor की degree से कम होनी चाहिए।
- Factor check करने के लिए remainder zero होना चाहिए।
- Division Algorithm का formula याद रखें।