Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 Ex 4.3

इस exercise में पूर्ण वर्ग बनाने की विधि, quadratic formula और quadratic equations पर आधारित application problems दिए गए हैं।

प्रश्न 1. पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हल कीजिए

(i) 2x² − 7x + 3 = 0

2 से भाग देने पर:

x² − 7x/2 + 3/2 = 0

पूर्ण वर्ग बनाने पर:

(x − 7/4)² = 25/16

अतः:

x = 3 या 1/2.

(ii) 2x² + x − 4 = 0

पूर्ण वर्ग बनाने पर:

(x + 1/4)² = 33/16

अतः:

x = (−1 ± √33)/4

(iii) 4x² + 4√3x + 3 = 0

यह पूर्ण वर्ग है:

(2x + √3)² = 0

x = −√3/2, −√3/2.

(iv) 2x² + x + 4 = 0

Discriminant:

D = 1 − 32 = −31

D ऋणात्मक है।

अतः इसके वास्तविक मूल नहीं हैं।

प्रश्न 2. Quadratic Formula से वही equations हल कीजिए

Quadratic formula:

x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a)

(i) 2x² − 7x + 3 = 0

x = 3, 1/2

(ii) 2x² + x − 4 = 0

x = (−1 ± √33)/4

(iii) 4x² + 4√3x + 3 = 0

x = −√3/2, −√3/2

(iv) 2x² + x + 4 = 0

कोई वास्तविक मूल नहीं।

प्रश्न 3(i). x − 1/x = 3

x ≠ 0.

x² − 1 = 3x

x² − 3x − 1 = 0

Quadratic formula से:

x = (3 ± √13)/2

प्रश्न 3(ii)

1/(x + 4) − 1/(x − 7) = 11/30

सरलीकरण के बाद:

11x² − 33x − 840 = 0

11 से भाग:

x² − 3x − 840/11 = 0

Quadratic formula से roots प्राप्त किए जा सकते हैं।

प्रश्न 4. रहमान की वर्तमान आयु

माना वर्तमान आयु x वर्ष है।

1/(x − 3) + 1/(x + 5) = 1/3

सरलीकरण:

x² − 4x − 21 = 0

(x − 7)(x + 3) = 0

आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती।

उत्तर: 7 वर्ष.

प्रश्न 5. शेफाली के अंक

माना गणित में x अंक हैं।

अंग्रेजी में अंक = 30 − x.

शर्त के अनुसार:

(x + 2)(27 − x) = 210

x² − 25x + 156 = 0

(x − 12)(x − 13) = 0

उत्तर: गणित में 12 या 13 और अंग्रेजी में क्रमशः 18 या 17 अंक।

प्रश्न 6. आयताकार खेत

छोटी भुजा = x m.

बड़ी भुजा = x + 30 m.

विकर्ण = x + 60 m.

पाइथागोरस से:

(x + 30)² + x² = (x + 60)²

x² − 60x − 2700 = 0

(x − 90)(x + 30) = 0

छोटी भुजा = 90 m और बड़ी भुजा = 120 m.

प्रश्न 7. दो संख्याएँ

छोटी संख्या = x.

बड़ी संख्या = x²/8.

वर्गों का अन्तर 180 है।

हल करने पर:

x² = 144

संख्याएँ = 12 और 18 अथवा −12 और 18.

प्रश्न 8. रेलगाड़ी की चाल

माना चाल x km/h है।

360/x − 360/(x + 5) = 1

सरलीकरण:

x² + 5x − 1800 = 0

(x − 40)(x + 45) = 0

ऋणात्मक मान अस्वीकार।

उत्तर: 40 km/h.

प्रश्न 9. दो पानी के नल

माना छोटे व्यास वाला नल x घंटे में हौज भरता है।

बड़े व्यास वाला नल x − 10 घंटे में भरता है।

दोनों की संयुक्त दर के आधार पर quadratic equation बनाने पर:

संभव मान x = 25 या 15/4 प्राप्त होते हैं।

15/4 घंटे वाला मान परिस्थितियों के अनुकूल नहीं है।

छोटा नल = 25 घंटे, बड़ा नल = 15 घंटे.

प्रश्न 10. Mysore और Bangalore की रेलगाड़ियाँ

सवारी गाड़ी की चाल = x km/h.

Express की चाल = x + 11 km/h.

132/x − 132/(x + 11) = 1

हल करने पर:

सवारी गाड़ी = 33 km/h

Express = 44 km/h

प्रश्न 11. दो वर्ग

एक वर्ग की भुजा = x m.

दूसरे की भुजा = x + 6 m.

क्षेत्रफलों का योग:

x² + (x + 6)² = 468

हल करने पर:

भुजाएँ = 12 m और 18 m.

Important Formula

x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a)

पूर्ण वर्ग विधि में x² के coefficient को 1 करके middle term से complete square बनाते हैं।