Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 Ex 4.4

इस exercise में विविक्तकर यानी Discriminant की सहायता से quadratic equation के roots की प्रकृति ज्ञात की जाती है।

Discriminant का Formula

यदि ax² + bx + c = 0 है, तो:

D = b² − 4ac

• D > 0 → दो वास्तविक और असमान मूल
• D = 0 → दो वास्तविक और समान मूल
• D < 0 → कोई वास्तविक मूल नहीं

प्रश्न 1. मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए

(i) 2x² − 3x + 5 = 0

D = (−3)² − 4(2)(5)

D = 9 − 40 = −31

अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(ii) 3x² − 4√3x + 4 = 0

D = (−4√3)² − 4(3)(4)

D = 48 − 48 = 0

अतः दोनों मूल समान हैं।

x = 2/√3, 2/√3

(iii) 2x² − 6x + 3 = 0

D = 36 − 24 = 12 > 0.

अतः दो वास्तविक और असमान मूल हैं।

प्रश्न 2. k का मान ज्ञात कीजिए ताकि मूल बराबर हों

(i) 2x² + kx + 3 = 0

D = k² − 24

समान मूल के लिए D = 0.

k² = 24

k = ±2√6

(ii) kx(x − 2) + 6 = 0

kx² − 2kx + 6 = 0

D = 4k² − 24k

4k(k − 6) = 0

k = 0 या 6.

k = 0 होने पर equation quadratic नहीं रहती।

अतः k = 6.

प्रश्न 3. आम की बगिया

माना चौड़ाई x m है।

लम्बाई = 2x m.

क्षेत्रफल = 800 m².

2x² = 800

x² = 400

x = 20 m.

उत्तर: चौड़ाई 20 m और लम्बाई 40 m. बगिया सम्भव है।

प्रश्न 4. दो मित्रों की आयु

आयु का योग = 20 वर्ष.

माना पहली आयु x है। दूसरी = 20 − x.

चार वर्ष पूर्व:

(x − 4)(16 − x) = 48

जिससे:

x² − 20x + 112 = 0

D = 400 − 448 = −48.

Discriminant ऋणात्मक है।

अतः ऐसी स्थिति सम्भव नहीं है।

प्रश्न 5. पार्क का निर्माण

परिमाप = 80 m.

यदि लम्बाई x है, तो चौड़ाई = 40 − x.

क्षेत्रफल:

x(40 − x) = 400

x² − 40x + 400 = 0

D = 1600 − 1600 = 0.

अतः दोनों dimensions समान हैं।

लम्बाई = 20 m और चौड़ाई = 20 m.

Exam Tip

Roots की nature पूछे जाने पर पूरा quadratic formula लगाने की जरूरत नहीं होती। सबसे पहले D = b² − 4ac निकालें।