Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Additional Questions

इस page में त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Chapter के अतिरिक्त महत्वपूर्ण MCQ, अतिलघु, लघु और दीर्घ उत्तरीय प्रश्न दिए गए हैं। इनमें tower, tree, shadow, river, airplane, building, lighthouse और angle of elevation/depression के practical questions शामिल हैं।

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1. स्तम्भ और उसकी छाया

यदि सूर्य का उन्नयन कोण 45° है और छाया की लंबाई 10 m है, तो:

tan 45° = h/10

h = 10 m.

उत्तर: 10 m

प्रश्न 2. 10 m ऊँचे मकान का उन्नयन कोण

मकान की ऊँचाई 10 m और आधार से दूरी 10 m है।

tan θ = 10/10 = 1.

उत्तर: 45°

प्रश्न 3. पेड़ की ऊँचाई

पेड़ के आधार से 15 m दूर उन्नयन कोण 30° है।

h = 15 tan 30°

h = 5√3 m

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. छाया की लंबाई √3 गुनी है

यदि छाया = h√3 और पेड़ की ऊँचाई h है:

tan θ = h/(h√3) = 1/√3.

अतः:

θ = 30°

प्रश्न 2. टूटा हुआ पेड़

पेड़ का टूटा हुआ भाग भूमि से 45° का कोण बनाता है और भूमि पर गिरा हुआ सिरा जड़ से 6 m दूर है।

खड़े भाग की ऊँचाई:

6 m

टूटे हुए भाग की लंबाई:

6√2 m

अतः कुल ऊँचाई:

6(√2 + 1) m

प्रश्न 3. 40 m दूर से मीनार

उन्नयन कोण 45° है।

tan 45° = h/40.

h = 40 m

प्रश्न 4. 30° सूर्य कोण और 45 m छाया

tan 30° = h/45.

अतः:

h = 15√3 m

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. 100 m और 150 m से मीनार के पूरक उन्नयन कोण

मीनार की ऊँचाई h मानें।

यदि कोण θ और 90° − θ हैं, तो:

h = 100 tan θ

और:

h = 150 cot θ.

दोनों को गुणा करने पर:

h² = 100 × 150.

अतः:

h = 50√6 m

प्रश्न 2. 150 m ऊँची मीनार से दो points

एक बिन्दु से उन्नयन कोण 30° तथा दूसरे से 60° है।

दोनों distances:

150√3 m और 50√3 m.

अतः दोनों बिन्दुओं के बीच की दूरी:

100√3 m

प्रश्न 3. हवाई जहाज की चाल

हवाई जहाज 1500√3 m की ऊँचाई पर है। उन्नयन कोण 60° से घटकर 30° हो जाता है और समय 15 सेकण्ड है।

दोनों positions की horizontal distances का अन्तर:

3000 m

चाल:

3000/15 = 200 m/s.

km/h में:

200 × 18/5 = 720 km/h

प्रश्न 4. मीनार और 50 m भवन

मीनार के शिखर से भवन के शिखर और पाद के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं।

दोनों right triangles से:

मीनार की ऊँचाई = 75 m

क्षैतिज दूरी = 25√3 m

प्रश्न 5. पुल से नदी की चौड़ाई

पुल नदी से 3 m ऊपर है और दोनों किनारों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं।

45° वाले किनारे की दूरी:

3 m

30° वाले किनारे की दूरी:

3√3 m

अतः नदी की चौड़ाई:

3(√3 + 1) m ≈ 8.20 m

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. मीनार की ऊँचाई

किसी बिन्दु से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण की tangent 7/4 है। मीनार की ओर 25 m जाने पर tangent 7/3 हो जाती है।

पहली स्थिति से:

h/x = 7/4.

दूसरी स्थिति से:

h/(x − 25) = 7/3.

दोनों equations हल करने पर:

मीनार की ऊँचाई = 175 m

प्रश्न 2. पेड़ और नदी की चौड़ाई

नदी के किनारे से पेड़ के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। 20 m पीछे जाने पर कोण 30° हो जाता है।

मान लें नदी की चौड़ाई x और पेड़ की ऊँचाई h है।

tan 60° = h/x

tan 30° = h/(x + 20)

हल करने पर:

x = 10 m

h = 10√3 m

प्रश्न 3. जहाज और पहाड़ी

जहाज की छत पानी की सतह से 10 m ऊपर है। पहाड़ी की चोटी का उन्नयन कोण 60° और तल का अवनमन कोण 30° है।

पहाड़ी और जहाज के बीच क्षैतिज दूरी:

10√3 m

पहाड़ी की कुल ऊँचाई:

40 m

प्रश्न 4. मकान और मीनार

मकान के आधार से 30 m दूर मीनार है। मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा मकान की छत से 45° है।

मीनार की ऊँचाई:

30√3 m

मकान की ऊँचाई:

30(√3 − 1) m

प्रश्न 5. पूरक कोणों से मीनार की ऊँचाई

मीनार के आधार से a और b दूरी पर स्थित दो बिन्दुओं से शिखर के उन्नयन कोण पूरक हैं।

यदि पहला कोण θ है, तो दूसरा:

90° − θ.

अतः:

h = a tan θ

और:

h = b cot θ.

दोनों equations को गुणा करने पर:

h² = ab.

अतः:

h = √ab

प्रश्न 6. सड़क के दोनों ओर मकान और मीनार

मकान की ऊँचाई 10 m है और मीनार के शिखर से मकान की छत तथा आधार के अवनमन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं।

दोनों right triangles के आधार समान होने के कारण equations बनाकर मीनार की ऊँचाई प्राप्त की जाती है।

प्रश्न 7. ऊर्ध्वाधर खम्भे की कुल लंबाई

खम्भे का निचला भाग उसकी कुल लंबाई का 1/3 है। खम्भे की जड़ से 40 dm दूर बिन्दु पर ऊपरी भाग का कोण α है और tan α = 1/2.

समीकरण बनाने पर:

h² − 160h + 4800 = 0.

Factorisation:

(h − 120)(h − 40) = 0.

दिया है कि खम्भा 100 dm से अधिक है। इसलिए:

h = 120 dm

प्रश्न 8. अधूरे मंदिर की ऊँचाई

मंदिर के आधार से 30 m दूर बिन्दु से वर्तमान शिखर का उन्नयन कोण 30° है। ऊँचाई बढ़ाने के बाद कोण 45° हो जाता है।

वर्तमान ऊँचाई:

30 tan 30° = 10√3 ≈ 17.32 m.

नई ऊँचाई:

30 tan 45° = 30 m.

अतः और बनाई जाने वाली ऊँचाई:

30 − 17.32 = 12.68 m

प्रश्न 9. मीनार पर लगे स्तम्भ की ऊँचाई

मीनार के आधार से 40 m दूर बिन्दु पर मीनार और स्तम्भ द्वारा बनाए गए angles के लिए:

tan θ = 1/2

और:

tan φ = 1/3.

मीनार की ऊँचाई:

20 m

मीनार और स्तम्भ की कुल ऊँचाई के अन्तर से:

स्तम्भ की ऊँचाई = 20 m

प्रश्न 10. नाव और पुल

नाव से पुल का उन्नयन कोण 30° है। 6 मिनट बाद कोण 60° हो जाता है।

त्रिकोणमितीय संबंध से दूसरी स्थिति से पुल तक की दूरी पहली स्थिति की दूरी की आधी प्राप्त होती है।

अतः शेष समय:

3 मिनट

प्रश्न 12. हवाई जहाज, पनडुब्बी और युद्धपोत

हवाई जहाज 1000 m की ऊँचाई पर है। पनडुब्बी का अवनमन कोण 30° और युद्धपोत का 45° है।

पनडुब्बी की horizontal दूरी:

1000√3 m

युद्धपोत की horizontal दूरी:

1000 m

अतः दोनों के बीच की दूरी:

1000(√3 + 1) m

प्रश्न 13. 1 km दूरी वाली स्थिति

यदि किसी स्थान से दो angles α और β पर मीनार दिखाई देती है तथा दोनों की horizontal distances का योग 1 km है, तो:

BD = H cot α

DC = H cot β

अतः:

H(cot α + cot β) = 1

से मीनार की ऊँचाई प्राप्त होती है।

प्रश्न 14. बादल और उसका प्रतिबिम्ब

झील के तल से h m ऊपर स्थित बिन्दु से बादल का उन्नयन कोण α और उसके प्रतिबिम्ब का अवनमन कोण β है।

दोनों right triangles में tan का प्रयोग करके बादल की ऊँचाई प्राप्त होती है:

h × (tan β + tan α)/(tan β − tan α)

अतः झील के तल से बादल की ऊँचाई:

h( tan β + tan α ) / ( tan β − tan α ) m

Chapter 9 के Important Concepts

• Angle of Elevation
• Angle of Depression
• Height and Distance
• tan θ का practical application
• Complementary angles
• Shadow problems
• River और building problems
• Airplane और ship problems

Important Values

Exam Tip

इस chapter में calculation से ज्यादा महत्वपूर्ण है सही diagram बनाना। पहले horizontal line खींचें, फिर height और distance को mark करें और उसके बाद tan, sin या cos का चुनाव करें।

FAQs

Chapter 9 में कौन-कौन से questions महत्वपूर्ण हैं?

मीनार, भवन, पेड़, नदी, जहाज, हवाई जहाज, lighthouse और shadow वाले questions विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं।

Angle of Depression में कौन-सा angle लिया जाता है?

Observer की horizontal line और नीचे दिखाई देने वाली वस्तु की line of sight के बीच का angle angle of depression कहलाता है।

Complementary angles वाले tower question का मुख्य formula क्या है?

यदि distances a और b हों और angles complementary हों, तो tower की height √ab होती है।