Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 9 Ex 9.1

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ex 9.1 में त्रिकोणमितीय अनुपातों की सहायता से ऊँचाई और दूरी ज्ञात करने वाले प्रश्न दिए गए हैं। इस exercise में मीनार, भवन, पेड़, पतंग, स्लाइड, संचार मीनार, नहर, प्रकाश स्तम्भ, जहाज और कार से संबंधित practical questions शामिल हैं।

Height and Distance क्या है?

जब किसी वस्तु की ऊँचाई या दो स्थानों के बीच की दूरी सीधे मापना कठिन हो, तब समकोण त्रिभुज और त्रिकोणमितीय अनुपातों की सहायता से उसे ज्ञात किया जाता है।

मुख्य त्रिकोणमितीय अनुपात

• sin θ = लम्ब / कर्ण
• cos θ = आधार / कर्ण
• tan θ = लम्ब / आधार

प्रश्न 1. 20 m की डोरी से खम्भे की ऊँचाई

एक 20 m लंबी डोरी भूमि के साथ 30° का कोण बनाती है।

यदि खम्भे की ऊँचाई h है, तो:

sin 30° = h/20

1/2 = h/20

h = 10 m

अतः खम्भे की ऊँचाई 10 m है।

प्रश्न 2. टूटे हुए पेड़ की ऊँचाई

पेड़ का ऊपरी भाग टूटकर भूमि पर 30° का कोण बनाता है तथा पेड़ के पाद से शीर्ष के भूमि को छूने वाले बिन्दु की दूरी 8 m है।

समकोण त्रिभुज में:

tan 30° = ऊँचाई / 8

अतः खड़े भाग की ऊँचाई:

8/√3 m

टूटे हुए भाग की लंबाई:

16/√3 m

इसलिए पेड़ की कुल ऊँचाई:

8√3 m

प्रश्न 3. दो फिसलनपट्टियों की लंबाई

पहली स्लाइड की ऊँचाई 1.5 m तथा भूमि के साथ कोण 30° है।

sin 30° = 1.5/AC

अतः:

AC = 3 m

दूसरी स्लाइड की ऊँचाई 3 m तथा कोण 60° है।

sin 60° = 3/A’C’

अतः:

A’C’ = 2√3 m

अतः दोनों स्लाइडों की लंबाइयाँ क्रमशः 3 m और 2√3 m हैं।

प्रश्न 4. 30 m दूर से मीनार की ऊँचाई

मीनार के पाद से 30 m दूर स्थित बिन्दु से शिखर का उन्नयन कोण 30° है।

tan 30° = h/30

h = 30/√3

h = 10√3 m

यदि √3 = 1.73 लिया जाए, तो:

h = 17.3 m

प्रश्न 5. पतंग की डोरी की लंबाई

पतंग भूमि से 60 m की ऊँचाई पर है और डोरी भूमि के साथ 60° का कोण बनाती है।

sin 60° = 60/l

अतः:

l = 60/(√3/2)

l = 40√3 m

लगभग:

l = 69.2 m

प्रश्न 6. भवन की ओर लड़के द्वारा चली गई दूरी

भवन की ऊँचाई 30 m और लड़के की ऊँचाई 1.5 m है।

आँख से भवन के शिखर का पहला उन्नयन कोण 30° है।

ऊँचाई का अन्तर:

30 − 1.5 = 28.5 m

पहली स्थिति की दूरी:

x = 28.5√3

दूसरी स्थिति में कोण 60° होने पर:

नई दूरी = 28.5/√3

दोनों दूरियों का अन्तर:

19√3 m

प्रश्न 7. संचार मीनार की ऊँचाई

20 m ऊँचे भवन के ऊपर संचार मीनार लगी है। भवन के आधार से मीनार के तल का उन्नयन कोण 45° और शिखर का उन्नयन कोण 60° है।

tan 45° = 20/PQ

अतः PQ = 20 m.

अब:

tan 60° = HQ/20

HQ = 20√3.

संचार मीनार की ऊँचाई:

20√3 − 20

= 20(√3 − 1) m

प्रश्न 8. पेडस्टल की ऊँचाई

एक 1.6 m ऊँची मूर्ति पेडस्टल के ऊपर लगी है। मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है।

tan 45° से क्षैतिज दूरी और पेडस्टल की ऊँचाई का संबंध प्राप्त होता है।

दोनों equations को घटाने पर:

पेडस्टल की ऊँचाई = 0.8(√3 + 1) m

प्रश्न 9. भवन की ऊँचाई

मीनार की ऊँचाई 50 m है। मीनार के पाद से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° और भवन के पाद से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है।

पहले दोनों स्थानों के बीच की दूरी ज्ञात करें।

फिर:

tan 30° = भवन की ऊँचाई / दूरी

हल करने पर:

भवन की ऊँचाई = 50/3 m

प्रश्न 10. सड़क के दोनों ओर खम्भों की ऊँचाई

सड़क की चौड़ाई 80 m है और दोनों ओर समान ऊँचाई के खम्भे लगे हैं। एक बिन्दु से उनके शिखरों के उन्नयन कोण 60° और 30° हैं।

यदि पहले खम्भे से दूरी x है, तो दूसरे से दूरी:

80 − x

tan 60° = h/x

tan 30° = h/(80 − x)

दोनों equations हल करने पर:

x = 20 m

और:

h = 20√3 m ≈ 34.60 m

दूसरे खम्भे से दूरी:

60 m

प्रश्न 11. नहर की चौड़ाई और TV Tower की ऊँचाई

नहर के दूसरे किनारे से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। उसी दिशा में 20 m पीछे दूसरे बिन्दु से कोण 30° है।

दोनों right triangles में tan का प्रयोग करने पर:

नहर की चौड़ाई = 10 m

TV Tower की ऊँचाई = 10√3 m

प्रश्न 12. केबल टॉवर की ऊँचाई

7 m ऊँचे भवन के शिखर से केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° और पाद का अवनमन कोण 45° है।

अवनमन कोण 45° से क्षैतिज दूरी 7 m प्राप्त होती है।

फिर:

AE = 7√3 m.

अतः टॉवर की कुल ऊँचाई:

7√3 + 7 = 7(√3 + 1) m

प्रश्न 13. दो जहाजों के बीच की दूरी

75 m ऊँचे lighthouse के शिखर से दो जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं और दोनों एक ही दिशा में हैं।

45° वाले जहाज की दूरी:

75 m

30° वाले जहाज की दूरी:

75√3 m

अतः दोनों जहाजों के बीच की दूरी:

75(√3 − 1) m

प्रश्न 14. उड़ते हुए गुब्बारे की दूरी

लड़की की आँख से गुब्बारे की ऊँचाई का अन्तर निकालकर 60° तथा 30° के लिए horizontal distances ज्ञात की जाती हैं।

दोनों distances का अन्तर गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी देता है।

प्रश्न 15. कार को मीनार के पाद तक पहुँचने का समय

मीनार के शिखर से कार का पहला अवनमन कोण 30° और 6 सेकण्ड बाद 60° हो जाता है।

त्रिकोणमितीय अनुपातों से दूसरी स्थिति और मीनार के पाद के बीच की दूरी पहली यात्रा की आधी प्राप्त होती है।

अतः शेष समय:

3 सेकण्ड

प्रश्न 16. पूरक कोणों से मीनार की ऊँचाई

मीनार के आधार से एक ही सीधी रेखा में 4 m और 9 m दूर स्थित दो बिन्दुओं से शिखर के उन्नयन कोण पूरक हैं।

यदि एक कोण θ है, तो दूसरा:

90° − θ

इसलिए:

tan θ × tan(90° − θ) = 1.

अर्थात:

h/4 × h/9 = 1

h² = 36

h = 6 m

Important Formulas

• tan θ = ऊँचाई / क्षैतिज दूरी
• sin θ = लम्ब / कर्ण
• cos θ = आधार / कर्ण
• tan 30° = 1/√3
• tan 45° = 1
• tan 60° = √3
• sin 30° = 1/2
• sin 60° = √3/2

उन्नयन कोण और अवनमन कोण

उन्नयन कोण वह कोण है जो किसी वस्तु को ऊपर की ओर देखने पर horizontal line के साथ बनता है।

अवनमन कोण वह कोण है जो किसी वस्तु को नीचे की ओर देखने पर horizontal line के साथ बनता है।

Exam Tip

Height and Distance के प्रश्नों में सबसे पहले diagram बनाइए। फिर दिए गए angle के अनुसार opposite, adjacent और hypotenuse पहचानकर सही trigonometric ratio चुनिए।

FAQs

Chapter 9 में सबसे महत्वपूर्ण topic क्या है?

Height and Distance, angle of elevation, angle of depression और इनके आधार पर tan, sin तथा cos का प्रयोग सबसे महत्वपूर्ण हैं।

Height and Distance में सबसे अधिक कौन-सा ratio प्रयोग होता है?

अधिकांश height-distance questions में tan θ = perpendicular/base का प्रयोग होता है।