Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Ex 3.1

दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1 में दैनिक जीवन की समस्याओं को दो linear equations के रूप में व्यक्त करके उनका graphical representation किया जाता है।

प्रश्न 1. आफ़ताब और उसकी पुत्री की आयु

माना आफ़ताब की वर्तमान आयु x वर्ष और पुत्री की आयु y वर्ष है।

7 वर्ष पूर्व:

x – 7 = 7(y – 7)

x – 7y + 42 = 0

3 वर्ष बाद:

x + 3 = 3(y + 3)

x – 3y = 6

अतः समीकरण युग्म:

x – 7y + 42 = 0

x – 3y = 6

दोनों समीकरणों को हल करने पर:

x = 3y + 6

3y + 6 – 7y + 42 = 0

-4y + 48 = 0

y = 12

x = 3(12) + 6 = 42

उत्तर: आफ़ताब की आयु 42 वर्ष और पुत्री की आयु 12 वर्ष है।

प्रश्न 2. बल्ले और गेंद का मूल्य

माना एक बल्ले का मूल्य ₹x और एक गेंद का मूल्य ₹y है।

3x + 6y = 3900

x + 2y = 1300

पहला समीकरण दूसरे का 3 गुना है। अतः दोनों रेखाएँ सम्पाती हैं।

उत्तर: समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

प्रश्न 3. सेब और अंगूर का मूल्य

माना 1 kg सेब का मूल्य ₹x और 1 kg अंगूर का मूल्य ₹y है।

2x + y = 160

4x + 2y = 300

पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर:

4x + 2y = 320

जबकि दूसरा समीकरण है:

4x + 2y = 300

अतः दोनों रेखाएँ समान्तर हैं।

उत्तर: समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

Graphical Method का नियम

• प्रत्येक equation को straight line के रूप में plot करें।
• दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर काटें → unique solution.
• दोनों रेखाएँ समान्तर हों → no solution.
• दोनों रेखाएँ एक ही हों → infinitely many solutions.

Important Formula

दो linear equations:

a₁x + b₁y + c₁ = 0

a₂x + b₂y + c₂ = 0

के लिए:

• a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → अद्वितीय हल
• a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → कोई हल नहीं
• a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → अपरिमित हल

FAQs

Graphical method क्या है?

दो linear equations को coordinate plane पर दो straight lines के रूप में प्रदर्शित करके उनके intersection से solution प्राप्त करना graphical method कहलाता है।

समान्तर रेखाओं का solution क्या होता है?

समान्तर रेखाएँ एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई common solution नहीं होता।