Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 6 Ex 6.2
इस exercise में थेल्स प्रमेय, proportionality theorem और उसके converse पर आधारित प्रश्न हैं।
थेल्स प्रमेय
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक रेखा समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है।
प्रश्न 1. DE || BC
दिए गए चित्र में DE || BC होने पर समान त्रिभुजों का उपयोग करके EC तथा AD ज्ञात किए जाते हैं।
समरूप त्रिभुजों से प्राप्त अनुपात का उपयोग करें:
AD/AB = AE/AC = DE/BC
दिए गए मान रखने पर संबंधित अज्ञात लंबाई प्राप्त होती है।
प्रश्न 2. क्या EF || QR है?
∆PQR में E और F क्रमशः PQ और PR पर स्थित हैं।
(i)
PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm.
जाँच:
PE/EQ = 3.9/3 = 1.3
PF/FR = 3.6/2.4 = 1.5
दोनों अनुपात समान नहीं हैं।
अतः EF || QR नहीं है।
(ii)
PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm.
PE/EQ = 4/4.5 = 8/9
PF/FR = 8/9
दोनों अनुपात समान हैं।
अतः EF || QR.
(iii)
PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm.
PE/PQ = PF/PR.
अतः converse of Basic Proportionality Theorem से:
EF || QR.
प्रश्न 4. समानांतर रेखाओं का प्रयोग
यदि DE || AC तथा DF || AE है, तो दिए गए अनुपातों से:
PE/EQ = PD/DO
और
PF/FR = PD/DO.
अतः:
PE/EQ = PF/FR.
थेल्स प्रमेय के विलोम से:
EF || QR.
प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए EF || QR
DE || OQ तथा DF || OR से प्राप्त समान अनुपातों के आधार पर:
PE/EQ = PF/FR.
अतः Basic Proportionality Theorem के converse से:
EF || QR.
प्रश्न 10. चतुर्भुज ABCD एक समलम्ब है
दिया है:
AO/BO = CO/DO.
O से OE || DC खींचते हैं।
थेल्स प्रमेय से प्राप्त अनुपातों की तुलना करने पर OE || AB भी प्राप्त होता है।
चूँकि OE || DC और OE || AB, इसलिए:
AB || DC.
अतः ABCD एक समलम्ब है।
Exam Tip
जब किसी प्रश्न में दो भुजाओं के हिस्सों के अनुपात दिए हों, तो सबसे पहले Basic Proportionality Theorem या उसके converse को पहचानें।