Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Ex 2.4

इस exercise में cubic polynomial के zeroes और coefficients के बीच संबंध, polynomial construction तथा दिए गए zeroes से अन्य zeroes ज्ञात करने के प्रश्न हैं।

Cubic Polynomial का Formula

यदि:

ax³ + bx² + cx + d

के zeroes α, β और γ हैं, तो:

α + β + γ = −b/a

αβ + βγ + γα = c/a

αβγ = −d/a

प्रश्न 1. दिए गए zeroes को verify कीजिए

(i) 2x³ + x² − 5x + 2

दिए गए zeroes: 1/2, 1, −2

p(1/2) = 0, p(1) = 0 तथा p(−2) = 0.

अतः तीनों दिए गए numbers polynomial के zeroes हैं।

Zeroes का sum:

1/2 + 1 − 2 = −1/2

−b/a = −1/2

Pairwise product:

1/2 − 2 − 1 = −5/2

c/a = −5/2

Product:

(1/2)(1)(−2) = −1

−d/a = −1

अतः सभी relations सत्य हैं।

(ii) x³ − 4x² + 5x − 2

दिए गए zeroes: 2, 1, 1

p(2) = 0 तथा p(1) = 0.

अतः zeroes = 2, 1, 1

Sum = 2 + 1 + 1 = 4

−b/a = 4

Pairwise products = 2 + 1 + 2 = 5

c/a = 5

Product = 2

−d/a = 2

प्रश्न 2. Cubic polynomial ज्ञात कीजिए

दिया है:

α + β + γ = 2

αβ + βγ + γα = −7

αβγ = −14

Formula:

x³ − (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x − αβγ

= x³ − 2x² − 7x + 14

उत्तर: x³ − 2x² − 7x + 14

प्रश्न 3. a और b ज्ञात कीजिए

Polynomial:

x³ − 3x² + x + 1

Zeroes: a − b, a, a + b

Zeroes का sum = 3

(a − b) + a + (a + b) = 3

3a = 3

a = 1

Zeroes का product = −1

(a − b)a(a + b) = −1

a(a² − b²) = −1

a = 1 रखने पर:

1 − b² = −1

b² = 2

b = ±√2

प्रश्न 4. अन्य दो zeroes ज्ञात कीजिए

Polynomial:

x⁴ − 6x³ − 26x² + 138x − 35

दो zeroes:

2 + √3 और 2 − √3

इनका factor:

(x − 2 − √3)(x − 2 + √3)

= x² − 4x + 1

Polynomial को इससे divide करने पर:

x² − 2x − 35

= (x − 7)(x + 5)

अतः अन्य दो zeroes:

7 और −5

प्रश्न 5. k तथा a ज्ञात कीजिए

दिया गया dividend:

x⁴ − 6x³ + 16x² − 25x + 10

Divisor:

x² − 2x + k

Remainder:

x + a

Division comparison करने पर:

2k − 10 = 0

अतः:

k = 5

Constant comparison से:

10 − a − 8k + k² = 0

k = 5 रखने पर:

10 − a − 40 + 25 = 0

−a − 5 = 0

a = −5

अतः:

k = 5 तथा a = −5

Important Points

• Cubic polynomial में अधिकतम तीन zeroes होते हैं।
• α + β + γ = −b/a
• αβ + βγ + γα = c/a
• αβγ = −d/a
• दिए गए zeroes से polynomial बनाने में signs का विशेष ध्यान रखें।