Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Additional Questions

Bihar Board Class 10 Maths Chapter 4 द्विघात समीकरण Additional Questions

यहाँ द्विघात समीकरण chapter के अतिरिक्त महत्वपूर्ण MCQ, short-answer और long-answer questions दिए गए हैं।

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1. इनमें से कौन-सा द्विघात समीकरण है?

दिए गए विकल्पों को simplify करने पर सही विकल्प:

(iv) x³ − x² = (x − 1)³

प्रश्न 2. किस equation का एक root 2 है?

2x² − 7x + 6 में x = 2 रखने पर:

8 − 14 + 6 = 0

उत्तर: (iii) 2x² − 7x + 6 = 0.

प्रश्न 3. x² + kx − 5/4 = 0 का एक root 1/2 है

x = 1/2 रखने पर:

1/4 + k/2 − 5/4 = 0

k/2 − 1 = 0

k = 2.

प्रश्न 4. 2x² − kx + k = 0 के equal roots

D = k² − 8k

k(k − 8) = 0

k = 0, 8.

प्रश्न 5. 9x² + 3x/4 − √2 = 0

Completing square के लिए आवश्यक constant:

(3/8)² = 9/64

यदि equation को monic form में पहले बदला जाए तो corresponding added/subtracted term 1/64 आती है।

प्रश्न 6. 2x² − √5x + 1 = 0

D = 5 − 8 = −3.

D < 0.

उत्तर: कोई वास्तविक मूल नहीं है।

प्रश्न 7. किस equation के वास्तविक मूल नहीं हैं?

विकल्प (i):

D = 16 − 12√2 < 0

उत्तर: x² − 4x + 3√2 = 0.

प्रश्न 8. (x² + 1)² − x² = 0

y = x² रखने पर:

y² + y + 1 = 0

इसका discriminant:

D = 1 − 4 = −3.

अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है।

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. x² + kx + 3 = 0 का एक root 1 है

1 + k + 3 = 0

k = −4.

प्रश्न 2. a²x² − 3abx + 2b² = 0

(ax − 2b)(ax − b) = 0

अतः:

x = 2b/a, b/a.

प्रश्न 3. b²x² + abx − a² = 0 के roots की nature

D = (ab)² − 4(b²)(−a²)

D = 5a²b² > 0.

अतः मूल वास्तविक, असमान और अपरिमेय होंगे।

प्रश्न 4. 2px² − 8x + p = 0 के equal roots

D = 64 − 8p²

Equal roots के लिए:

64 − 8p² = 0

p² = 8

p = ±2√2.

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. राम और श्याम की आयु

माना श्याम की आयु x वर्ष है।

राम की आयु = 5x².

आयु का अन्तर 18 है:

5x² − x = 18

5x² − x − 18 = 0

(x − 2)(5x + 9) = 0

धनात्मक मान x = 2.

राम की आयु = 5(2)² = 20.

उत्तर: श्याम = 2 वर्ष, राम = 20 वर्ष.

प्रश्न 2. (a − 12)x² + 2(a − 12)x + 2 = 0 के equal roots

D = [2(a − 12)]² − 8(a − 12)

समान मूल के लिए:

(a − 12)(a − 14) = 0

a = 12 equation को quadratic नहीं रखता।

अतः a = 14.

प्रश्न 4. आयताकार मैदान

छोटी भुजा = x m.

बड़ी भुजा = x + 30 m.

विकर्ण = x + 60 m.

पाइथागोरस से:

(x + 60)² = (x + 30)² + x²

x² − 60x − 2700 = 0

(x − 90)(x + 30) = 0

x = 90.

बड़ी भुजा = 120 m.

परिमाप:

2(90 + 120) = 420 m.

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1. 5x² − 6x − 2 = 0 को पूर्ण वर्ग विधि से हल कीजिए

5x² − 6x − 2 = 0

5 से भाग:

x² − 6x/5 = 2/5

दोनों पक्षों में (3/5)² जोड़ने पर:

(x − 3/5)² = 19/25

अतः:

x − 3/5 = ±√19/5

x = (3 ± √19)/5.

प्रश्न 3. समीकरण को quadratic equation में बदलकर हल कीजिए

8(x² + 1/x²) − 42(x − 1/x) + 29 = 0

माना:

y = x − 1/x.

तब:

x² + 1/x² = y² + 2.

अतः:

8(y² + 2) − 42y + 29 = 0

8y² − 42y + 45 = 0

(4y − 15)(2y − 3) = 0

अतः:

y = 15/4 या 3/2.

अब y = x − 1/x रखकर संबंधित quadratic equations हल की जाती हैं।

Chapter 4 के Important Formulas

• Standard form: ax² + bx + c = 0
• Quadratic Formula: x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a)
• Discriminant: D = b² − 4ac
• D > 0 → real and unequal roots
• D = 0 → real and equal roots
• D < 0 → no real roots

FAQs

Quadratic equation के roots की nature कैसे पता करें?

Discriminant D = b² − 4ac निकालकर roots की nature पता की जाती है।

Equal roots की condition क्या है?

Equal roots के लिए discriminant D = 0 होना चाहिए।

कोई real root नहीं होने की condition क्या है?

D < 0 होने पर quadratic equation के कोई real roots नहीं होते हैं।