Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Ex 5.1
समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1 में Arithmetic Progression यानी A.P. की पहचान, प्रथम पद, सार्वान्तर तथा A.P. के पदों को समझाया गया है।
समांतर श्रेढ़ी (A.P.) क्या है?
ऐसी संख्या-श्रृंखला जिसमें प्रत्येक दो क्रमागत पदों का अन्तर समान होता है, उसे समांतर श्रेढ़ी या Arithmetic Progression कहते हैं।
यदि A.P. के प्रथम पद को a और सार्वान्तर को d माना जाए, तो:
a, a + d, a + 2d, a + 3d, …
प्रश्न 1. निम्न स्थितियों में कौन-सी A.P. है?
(i) Taxi Fare
पहले किलोमीटर का किराया ₹15 और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर का किराया ₹8 बढ़ता है।
श्रृंखला: 15, 23, 31, 39, …
सार्वान्तर = 8.
उत्तर: यह A.P. है।
(ii) Cylinder में हवा का आयतन
हर बार बची हुई हवा का 1/4 भाग निकाला जाता है। यहाँ क्रमागत पदों का अन्तर समान नहीं रहता।
उत्तर: यह A.P. नहीं है।
(iii) कुआँ खोदने की लागत
पहले मीटर की लागत ₹150 है और प्रत्येक अगले मीटर पर ₹50 बढ़ता है।
श्रृंखला: 150, 200, 250, 300, …
उत्तर: यह A.P. है और d = ₹50.
(iv) चक्रवृद्धि ब्याज का मिश्रधन
चक्रवृद्धि ब्याज में प्रत्येक वर्ष राशि समान अन्तर से नहीं बढ़ती।
उत्तर: यह A.P. नहीं है।
प्रश्न 2. प्रथम चार पद लिखिए
| प्रथम पद (a) | सार्वान्तर (d) | प्रथम चार पद |
|---|---|---|
| 10 | 10 | 10, 20, 30, 40 |
| -2 | 0 | -2, -2, -2, -2 |
| 4 | -3 | 4, 1, -2, -5 |
| -1 | 1/2 | -1, -1/2, 0, 1/2 |
| -1.25 | -0.25 | -1.25, -1.50, -1.75, -2.00 |
प्रश्न 3. प्रथम पद और सार्वान्तर ज्ञात कीजिए
- 3, 1, -1, -3, … → a = 3, d = -2
- -5, -1, 3, 7, … → a = -5, d = 4
- 1/3, 5/3, 9/3, 13/3, … → a = 1/3, d = 4/3
- 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, … → a = 0.6, d = 1.1
प्रश्न 4. कौन-कौन सी A.P. हैं?
| क्रम | स्थिति | सार्वान्तर | अगले तीन पद |
|---|---|---|---|
| (i) 2, 4, 8, 16 | A.P. नहीं | – | – |
| (ii) 2, 5/2, 3, 7/2 | A.P. | 1/2 | 4, 9/2, 5 |
| (iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2 | A.P. | -2 | -9.2, -11.2, -13.2 |
| (iv) -10, -6, -2, 2 | A.P. | 4 | 6, 10, 14 |
| (v) 3, 3+√2, 3+2√2, 3+3√2 | A.P. | √2 | 3+4√2, 3+5√2, 3+6√2 |
| (vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 | A.P. नहीं | – | – |
| (vii) 0, -4, -8, -12 | A.P. | -4 | -16, -20, -24 |
| (viii) -1/2, -1/2, -1/2, -1/2 | A.P. | 0 | -1/2, -1/2, -1/2 |
| (ix) 1, 3, 9, 27 | A.P. नहीं | – | – |
| (x) a, 2a, 3a, 4a | A.P. | a | 5a, 6a, 7a |
| (xi) a, a², a³, a⁴ | A.P. नहीं | – | – |
| (xii) √2, √8, √18, √32 | A.P. | √2 | √50, √72, √98 |
| (xiii) √3, √6, √9, √12 | A.P. नहीं | – | – |
| (xiv) 1², 3², 5², 7² | A.P. नहीं | – | – |
| (xv) 1², 5², 7², 73 | A.P. नहीं | – | – |
Important Formula
nवाँ पद:
an = a + (n – 1)d
सार्वान्तर:
d = a2 – a1
FAQs
A.P. की पहचान कैसे करें?
दो क्रमागत पदों का अन्तर निकालें। यदि सभी अन्तर समान हों, तो वह A.P. है।
A.P. का पहला पद क्या कहलाता है?
पहले पद को सामान्यतः a से दर्शाते हैं।