Bihar Board Class 10 Maths Solutions Chapter 7 Ex 7.4
Ex 7.4 में coordinate geometry के advanced applications जैसे section formula, collinearity, circle centre, square vertices, triangle area और centroid शामिल हैं।
प्रश्न 1. रेखा द्वारा रेखाखण्ड का विभाजन
A(2, -2), B(3, 7) तथा रेखा:
2x + y − 4 = 0
प्रतिच्छेद बिन्दु को section formula में रखने और line equation satisfy करने पर:
अभीष्ट अनुपात = 2 : 9
प्रश्न 2. संरेखी बिन्दुओं के लिए सम्बन्ध
बिन्दु (x, y), (1, 2), (7, 0) संरेखी हैं।
Triangle का area शून्य रखने पर:
x + 3y − 7 = 0
अतः x + 3y = 7.
प्रश्न 3. तीन बिन्दुओं से होकर जाने वाले वृत्त का केन्द्र
बिन्दु:
A(6, -6), B(3, -7), C(3, 3)
वृत्त का केन्द्र O(h, k) मानकर:
OA2 = OB2 = OC2
समीकरणों को हल करने पर:
O = (8, -2)
प्रश्न 4. वर्ग के अन्य शीर्ष
वर्ग के सम्मुख शीर्ष:
(-1, 2) और (3, 2)
विकर्ण का midpoint:
(1, 2)
अन्य दोनों vertices:
(1, 0) और (1, 4)
प्रश्न 5. त्रिभुज का क्षेत्रफल
यदि A को origin मानें:
P(4, 6), Q(3, 2), R(6, 5)
Area:
9/2 वर्ग मात्रक
यदि C को origin मानें:
P(-12, -2), Q(-13, -6), R(-10, -3)
Area फिर:
9/2 वर्ग मात्रक
अतः दोनों coordinate systems में area समान है।
प्रश्न 6. ∆ADE और ∆ABC के क्षेत्रफल की तुलना
दिया है:
AD/AB = AE/AC = 1/4.
इससे ∆ADE और ∆ABC की corresponding sides का ratio 1:4 है।
अतः area ratio:
ar(∆ADE) : ar(∆ABC) = 1 : 16.
प्रश्न 7. Centroid
∆ABC के vertices:
A(4, 2), B(6, 5), C(1, 4)
(i) Median का midpoint
BC का midpoint:
D = (7/2, 9/2)
(ii) AD को 2:1 में विभाजित करने वाला point
Section Formula से centroid प्राप्त होता है।
(iii) अन्य दोनों medians
तीनों medians एक ही बिन्दु पर मिलती हैं।
(v) General Centroid Formula
यदि vertices:
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) हैं, तो:
Centroid = ((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3)
प्रश्न 8. Midpoints वाला चतुर्भुज
Rectangle ABCD के चारों sides के midpoints P, Q, R, S हैं।
PQ = QR = RS = SP होने के कारण PQRS एक rhombus है।
इसके diagonals बराबर नहीं हैं।
अतः PQRS एक समचतुर्भुज है, वर्ग नहीं।
Important Formulas
- Triangle Area: Coordinate area formula
- Centroid: ((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3)
- Section Formula: m:n division formula
- Rhombus Area: 1/2 × d1 × d2
FAQs
Centroid क्या होता है?
त्रिभुज की तीनों medians जिस common point पर मिलती हैं, उसे centroid कहते हैं।
Centroid median को किस अनुपात में बाँटता है?
Centroid प्रत्येक median को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।